[微分] 101中正 函數恰有一解

[hengzhi (hengzhi)]

題目:

For what value of C does the equation

ln x = Cx^3 have exactly one solution?


解答:

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先畫出 ln x 與 Cx^3 的圖形

然後發現

當 C < 0 一定跟 ln x 相交


討論 C > 0

令 F(x) = Cx^3-lnx

F'(x) = 3Cx^2 - 1/x = 0

>> C = 1 / 3x^3

代回 f(x) 解得  C = 1 / 3e
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想問版上大大  一看到題目
要怎麼直觀的想到

C > 0
滿足 F'(x) = 0 的條件

將會有唯一解，

另外為什麼C < 0 ，卻又要用圖形判斷?

而不是 從 F'(x) = 0 看出



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→ yhliu       : C = 0 或 C > 0 結果是很顯然的. 以 C > 0 為例,
→ yhliu       : 左邊 ln(x) 由 x→0+ 時的 -∞ 增至 x→+∞ 時的+∞
→ yhliu       : 而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 +∞. 因為左
→ yhliu       : 右兩邊都是連續函數, 因此必有交點; 又因嚴格單調性
→ yhliu       : 夜點唯一.
→ yhliu       : 上面 "C > 0" 是 "C < 0" 之誤.
→ yhliu       : 當 C > 0 時, 左右都是增函數, 但, 起點不同, 增速
→ yhliu       : 也不同, 需要比較細緻的觀察. 要找 F(x) = 0 的解,
→ yhliu       : 一般它和 F'(x) = 0 的解是兩回事. 不過, 此例
→ yhliu       : F(x) = Cx^3 -ln(x), 當 x→0+ 時 F(x)→+∞, 而
→ yhliu       : x→+∞ 時 F(x)→+∞. 因此, 若 F(x) = 0 有解而且
→ yhliu       : 是唯一解, 它必是 F(x) 的最低點, 因而 F'(x) = 0.
→ yhliu       : 所以才會找 F'(x) = 0 的解. 但要證明這是唯一解,
→ yhliu       : 除了它同時要滿足 F(x) = 0 (這才是原目標), 也要它
→ yhliu       : 是唯一的.
→ yhliu       : 當 C < 0 或 C = 0 時, 因 F(x) 是嚴格單調的, 不可
→ yhliu       : 能找到 F'(x) = 0 的解. 不過, 倒是可由 F'(x) 恆負
→ yhliu       : 確立其嚴格單調性, 而得 "至多一解" 的結論.
→ yhliu       : 再修正: 除第1列 C>0 修正為 C<0 以外, 第3列修正如
→ yhliu       : 次: 而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 -∞.
→ hengzhi     : 太感謝你了哈哈 我了解了！  原來關鍵在 F(x) 是最
→ hengzhi     : ！