推 Philethan : cool!! 06/21 08:32
小弟也來騙點p幣 補充說明一下 XD
※ 引述《Eliphalet (Mournful Monday)》之銘言：
: ※ 引述《allenchen821 (Allen)》之銘言：
: : 想請教一下,小弟是不是有甚麼觀念沒弄懂
: : 1 1 1 1 1
: : lim－>無限[－－－ +－－－+－－－+－－－........+－－－ ]之值為何?
: : n+1 n+2 n+3 n+4 3n+1
: : 謝謝抽空解答.^_^
: 改一下括號好了，免得誤解
: 我這裡是把你上面的中括號當成高斯符號
: n
: 已知 lim { Σ 1/k - ln(n) } 存在 (事實上就是 Euler constant)
: n→∞ k=1
n
這個極限存在 可以用 ∫ (1/x) dx 的 upper sum, lower sum來證明
1
: 1 1 1
: 因此 lim ----- + ----- + ... + ------- = lim ln ((3n+1)/n)
: n→∞ n+1 n+2 3n+1 n→∞
: = ln(3)
: 又 e≒2.71828 則 1 < ln(3) < 2
: 故取完高斯符號後的極限為 1
過程寫詳細一點
3n+1
lim { Σ 1/k - ln(3n+1) } = c (Euler constant) ---- (1)
n→∞ k=1
n
lim { Σ 1/k - ln(n) } = c (Euler constant) ---- (2)
n→∞ k=1
(1) - (2) :
3n+1
lim { Σ 1/k - ln(3n+1) + ln(n) } = c - c = 0
n→∞ k=n+1
3n+1
lim { Σ 1/k - ln((3n+1) / ln(n) ) } = 0
n→∞ k=n+1
1 1 1
lim ----- + ----- + ... + ------- = lim ln ((3n+1)/n) = ln(3)
n→∞ n+1 n+2 3n+1 n→∞
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