Re: [多變] 極值

[Eliphalet (蘇格蘭狗餅)]

※ 引述《SamBetty (sam)》之銘言：
: 題目：
:                                 n  2                            n     p
: (a) Find all extrema of f(x) = Σ x  subject to the constraint Σ |x | = 1,
:                                k=1 k                           k=1  k
:     where p > 1.


  初微的話，可用 Lagrange multiplier method，稍微計算後可知


                極大值為 1
  1 < p < 2 時
                極小值為 n^(1-2/p)


      p = 2 時  極大值 = 極小值 = 1



                極大值 n^(1-2/p)
      p > 2 時
                極小值 1


: (b) Prove that there exist constants a , b , depending on n, such that for any
:                                       n   n
:     real vector x = (x , x ,..., x )
:                       1   2       n
:                     n     p 1/p    n  2 1/2      n     p 1/p
:                 a (Σ |x | )   ≦(Σ x )   ≦b (Σ |x | )   ,
:                  n k=1  k         k=1 k       n k=1  k
:     where 1≦p≦2. Find optimal a  and b .
:                                  n      n
: 比較有問題的是(b)小題，感覺和(a)小題有關，但我不知從何下手。請問要如何解？
: 謝謝！


    類似於 (a) 的作法，可看限制於 \| x \|_p  = α ≧ 0，且 1≦p≦2 時

     \| x \|_2 其極值為何

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.205.84
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推 SamBetty    : 感謝！
→ yyc2008     : 限制是絕對值  能夠微分嗎?
  對 p > 1 ， d/dt |t|^p =  p sgn(t) |t|^(p-1)
※ 編輯: Eliphalet (114.46.205.84), 09/21/2015 22:53:27
→ yhliu       : |t|^p 只是在 t = 0 時可能不能微分, 在他處均可微.
  第一題給的條件有 p > 1 ，連 t = 0 都可微
※ 編輯: Eliphalet (114.46.212.176), 09/23/2015 10:06:49
→ yhliu       : 我知道 p>1 時 |t|^p 處處可微.