Re: [求助] 高中指數

[diego99 (誰是我的小天使？！)]

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1IUayS0C (tutor) [ptt.cc] Re: [求助] 高中指數            │
│ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1383747356.A.00C.html            │
│ 這一篇文章值 139 Ptt幣                                                   │
└─────────────────────────────────────┘

上面這個文章是真的打動我此題不能選的說法，

當使用複數做運算時，當用複數的情況來比大小而非實數，

但複數在一般情形下是無法比大小的，故題目情境必須要有限制條件。

無論如何感謝這篇作者，讓我想起我遺失的東西。

以下過程做些補充：

令 x = (-2)^(1/2)

則 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i   （詳見99課綱選修上冊複數極式）

case 1. x = √2 i，則 x^12 = 64 > 0  （此過程是有問題的）
                      複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
case 2. x = -√2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
                      複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。


---

原文的推文中有提高中課程沒有定義複指數函數，

但這似乎不代表無法用高中課程的範疇去處理這樣的問題。

而一題題目在高一時錯誤，而到高三時反而正確，

造成的問題會比思考問題還嚴重，

因為你可能會發現高三的指考戰士拿著高一的自修說這是錯的。


※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：指數率
: 4.題目： 是非題  [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
:          答案是(錯)
: 5.想法：我知道有理指數的底數不可為負
:         但我計算的結果:
:         1.(-2)6次方 = 64
:         2.(根號2*i)12次方 = 64*1 = 64
:         3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根號4)12次方=64
:         都是 64 > 0
:        想請教的:此題是直接說底數不可為負所以錯 ?
:                 還是有其他的計算方式可以寫出不大於0的結果 ?
:       ，請各位高手解惑，謝謝。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.175.77
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 10:16)
→ jollic:您仔細看高三在這部分的問題，都會問"求-2的2次方根"
願聞其詳。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 11:31)
→ jollic:而避免使用"x=(-2)^(1/2),求x"的敘述。在課程中僅定義了底
→ jollic:數為正數時的指數函數，未有妥善的定義底數為負的時候
→ jollic:因此在底數為負的時候，我會懷疑若 x=(-2)^1/2 跟 x^2 = -2
你這邊該說的是高中課程中，

當底數為其他情況時，指數部分要是正整數，

例如 (a+bi)^n
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 11:34)
→ jollic:是等價的關係嗎?
→ jollic:或者不用等價
→ jollic:或許不用到"等價"如此強的條件，我們應該要問
→ jollic:"x=(-2)^1/2  可以推得  x^2 = -2 "這件事是否正確
這邊要去思考是不是有某個東西的平方會是 -2

不存在嗎？  這樣似乎不對。

只有√2 i 和 -√2 i 嗎？  目前能用到的理論確定至少是這些。

是不唯一就無法定義嗎？ 這些都是可以去思考的。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 11:39)
推 AtDe:我覺得是高中的數系還沒推廣到那邊...
但高中生可以利用目前學過的東西去思考。

而這裡既然是家教老師的討論版，

那身為老師的我們是否也該思考一下當學生對這裡有疑問時，

我們是要告訴他「因為高中數學中指數的底數不能為負，所以這題錯」

還是該向他們誠實以對？

當然這部份每個老師的做法不同，應該就不需要詳述了。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 12:03)
→ jollic:我想你上面應該是要打，有沒有一個數的平方是-2吧
感謝，已修改。

→ jollic:我這邊想表達的不是有沒有答案，而是要表達對於符號的使用
→ jollic:儘管有一個解的平方是-2，但這就代表那個解可用(-2)^1/2來
→ jollic:表示嗎? 依據現有所學，應該是不成立的
這說反了吧？

我前面講的是是否有某個東西的平方是-2

學生會不會有這樣的疑問：

為什麼"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"對，

而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"卻錯？

或者有這樣的疑問：

為什麼"x = (2)^(1/2) => x = √2"對，

而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"卻錯？

這邊值得注意的一點是，

課綱中提到底數為正的情況在於指數函數(而且還不能是1)，而非指數運算，

因此學生會不會有這樣的疑問：

既然指數底數在高中課程為正，

那為什麼"2^2 = 4 "對， "(-2)^2 = 4"也對？

又為什麼"[2^(1/2)]^2 = 2"對，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"卻錯了？

但實際上真的是錯的嗎？

→ jollic:回到教學面，這邊可以要協助學生建立一個概念，在探討任何
→ jollic:問題前，要先確立思考時的背景是什麼，我們有哪些知識後，
→ jollic:再去討論問題，  就如同有人說1+1=0，難不成永遠都是錯的
→ jollic:嗎?  我想不盡然吧!
http://ppt.cc/99pj

以上，感謝你的討論，若還有其他依然是願聞其詳。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 13:19)
推 wayn2008:推 課綱提到 底數為正是因為要畫指數函數圖形
這邊學生可能又有疑問：

難道底數為負，就無法畫出函數圖形了嗎？

推 alamabarry:過去的教育太重視答案是什麼~~然後去接受他
→ alamabarry:或是去揣摩出題者的意思 或是用意
→ alamabarry:很多都是建立在出題者是對的前提下去作答 缺乏討論
→ alamabarry:個人沒這麼專業 但如果是我遇到 我會用本篇文章的方式
→ alamabarry:去說明為何我認為是對~~但是我也會跟學生說可能是定義
→ alamabarry:問題所產生的結果~~待我查清楚再跟你說
→ alamabarry:定義會改變本題的答案~但對這類型問題的思考其實沒差
推 alamabarry:但是我並不認同 還沒交到的觀念要逼學生去選那個答案
→ alamabarry:應該要說明清楚比較好  不然就不要出現這類型題目
其實我更無法認同的地方在於，

這種讓學生無法辨別真偽的是非題，為何要強制學生選「非」？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 13:56)
→ condensed:如果題目本身設計就有問題　那就連對錯都談不上
是的，所以我才在原文的推文中說，

我的話會選「是」。

重點在於當我跟學生說我認為「是」之後，

我做的解釋是什麼。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 14:00)
→ condensed:學生要選的是：「命題者出錯」，而不是答案為非。
→ condensed:符號運算必須先定義清楚，而不是蓄意誤導學生。
→ condensed:這種只是為了要讓學生犯錯，而非釐清觀念細節的問題，
→ condensed:在正式教材裡都應該極力避免。
→ wayn2008:我在說明圖形時也會講到為何不用負數當底數。
→ condensed:我不覺得那題應該選非，因為在數學上的確是有定義的。
→ condensed:如果學生超前進度學過了複數的觀念，教師難道要以：「現
→ condensed:階段不應提前學習複數」為理由，說學生是錯的嗎？
所以這邊就是出題老師與授課老師該謹慎小心的部分。


→ wayn2008:去畫函數圖(剛剛打錯沒句點才對)，稍微提到連續性對學數
→ wayn2008:學的關聯
是的，說明如此定義的原因與用途，就是這節最重要的地方 ^^
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 14:13)
→ jollic:上面所說的1+1=0，並非指那種明顯錯誤證明，要說的是討論
那...可以請你幫忙討論一下嗎？

要不然你這段我完全不曉得你要討論什麼，

只好找個資料放上去。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 15:35)
→ jollic:問題時的基準在哪，若是我們身處在Z_2的世界去做加法，
OK  這樣我了解了。

你想表示的是在Z_2的情況下1+1=0是吧？

那...接著呢？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 15:37)
→ jollic:1+1自然為零，同樣地，原題目的討論也是要先辨明我們要用
→ jollic:國中，高一，高三，還是最廣博精深的數學界來討論是與非
好，那請你告訴我 [(-2)^(1/2)]^12 > 0 到底錯在哪？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 15:41)
→ jollic:依照高中課本對指數函數的定義，在指數為有理數時，
→ jollic:底數要大於零
→ jollic:而你上述表達的(a^m)^n=a^(m*n)，同樣是在有定義
→ jollic:的情況下才成立，而取a=-2,m為有理數，也在定義之外
→ jollic:，所以我會質疑那個等號的成立與否
→ jollic:再來，我前面只有說到，不應該是正確的，而沒說過有錯
現在還要跳針高中數學對指數函數的定義嗎？

我是很久沒看到正式的數學課本了，

但我只知道課綱在這部份是這麼寫的。

http://ppt.cc/v1Gp

你可以告訴我這整篇課綱裡面哪裡有確實提到指數函數的定義？

再者，為什麼一個你已經確定是正確的事情，

卻要和學生說因為定義的問題，所以「不應該是正確的」？

一個老師的責任不該僅此而已吧！

什麼叫是非題？

不是「正確」就是「錯誤」，

要不然就是「不知道」，

沒有所謂「應該」的選項。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 17:46)
推 alamabarry:指數函數 底數會有限制 但這題如果不是指數函數成立嗎?
這題根本就沒有提到指數函數這四個字。

只是我不解為什麼課綱壓根沒提到指數函數的定義，

卻要跳針課本有說指數函數的定義。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 17:49)
推 alamabarry:所以我覺得這可能是關鍵~~一直去討論指數好像怪怪的
推 nogoodid:和學生解釋完 說明是對的後 如果學生問考試該寫對還錯
→ nogoodid:老師們會怎選擇呢 叫他堅持 還是選可以拿分的答案
我都是這麼跟學生說的，

如果你的老師在這題讓你錯了，

那我會想辦法聯絡他唸研究所時的指導教授，

請他的指導教授指導我這題是對還是錯。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 18:24)
→ nogoodid:老師找指導教授跟你談還是直接算錯扣分 哪個機率大…
→ nogoodid:一般來說 我會解釋給學生聽 讓他獲取正確的知識
→ nogoodid:但是如果學生想寫可以拿分的答案 我也覺得ok
→ nogoodid:老師的堅持 不見得要加在學生身上 讓他自己判斷利弊吧
我想我上面沒有說要把我的堅持加在學生身上，

我也沒有說過我找那位老師的指導教授就能夠讓學生獲得該題分數，

但我會把該指導教授所認為的也一起告訴那位學生。

※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/06 19:03)
→ nogoodid:什麼意思？ 你是指你這樣解釋完後 學生可能會不信你
→ nogoodid:所以必須找學校老師的指導教授才能證明你是對的？
→ diego99:我先去上課，回來再回。
→ nogoodid:會這樣問 是因為我學生時代有碰過類似的事情…
→ nogoodid:是非題；一元二次方程式判別式小於0 則X無解
→ nogoodid:家教老師很堅持說有解 還跟我解釋虛數的事情 要我寫錯
→ nogoodid:但我想拿分 小考我寫對 得到分數 他看到考卷很不滿
→ nogoodid:就又花很多時間跟我溝通虛數的蓋念 我其實已經半不懂了
→ nogoodid:最後他叫我以後要寫錯 什麼他負責之類的
→ nogoodid:段考好死不死有這題 我也寫錯了 100分就飛了
→ nogoodid:他知道後 一直說要找我學校老師溝通 我嚇都快嚇死了
→ nogoodid:忘了補充 時間點是我的國中 那時候還有部份學校的答案
那你可以想看看現在你知道判別式小於零確定為無實數解的時候，

你會請你的學生在寫答案是要寫「無解」，還是寫「無實數解」。

這事情我的看法是這樣，

若學生寫的是正確的知識，我會認為他是非常棒的，

即使這題被改錯，或者只差這題就滿分，

如果他真的很想要這題的分數，我也很願意幫他爭取，

但我會告訴他在這份測驗中獲得比滿分還要充實的成就。

若學生為了成績寫下錯誤的答案，我也不會反對，

畢竟在台灣目前的制度下，學生不得不低頭。


推 condensed:寫正確的答案被改錯，你還有立場去爭取；寫錯誤的答案被
→ condensed:改錯，你要向大考中心辯駁說「是參考書或我們任課老師
→ condensed:講的，所以你要讓我對」這樣子嗎？
→ nogoodid:是無解 而非 無實數解
推 condensed:如果已經知道閱卷者喜歡什麼答案，沒有人會不知道要去
→ condensed:填什麼。但若書本寫錯，為什麼可以作為支持這樣教學的理
→ condensed:由？教師的專業之一就是明辨教材的正誤性。
推 nogoodid:那如果c大你的學生說 還是想寫可拿分的答案 你同意嗎
推 condensed:我的學生在考前就和老師確認過，所以我們當然同意寫正確
→ condensed:答案。
推 nogoodid:意思是學校老師也同意嗎 如果是這樣當然最好了
推 condensed:學校教師的講義缺乏仔細校正而錯誤頻頻 並非新鮮事。引
→ condensed:導學生與學校老師溝通，也是種學習。
→ nogoodid:那萬一不幸 學校老師不同意 學生又還是想拿分呢
推 condensed:我會告訴學生正確觀念 並請他婉轉與學校老師確認（當然
→ condensed:不能說是家教老師教的，要假裝是自己疑問）
推 condensed:學生想拿分和我是否告訴他正確答案有衝突嗎？現在不教，
→ condensed:一則未來指考學測也要面對，一則學習的邏輯構成阻礙，
→ condensed:何以不教？
我覺得這樣的方法真的很好，

但並非所有的學生都願意這樣去詢問老師。


→ condensed:事情一碼歸一碼，不能因為學校或書本弄錯，就抹滅學生
→ condensed:知的權利。
推 nogoodid:我是指如果都問過了 可是老師就是認為高中範圍算錯的呢
→ nogoodid:c大你誤會我嘍 我上面推文也說過 一定會解釋
其實我也很想知道會不會有高中老師會說出明明是對的，

但是「高中範圍他就是錯的」這種類似的話。

在數學科方面，至少目前我還沒看過。

希望有遇過的人分享一下情況。

推 condensed:至於為了拿分而如何云云，那完全是另一回事。私豪不構
→ condensed:成我們判別是非的理由。
→ nogoodid:知的權利 我是非常肯定的 只是理想和現實衝突時
→ nogoodid:我會告知學生對的 讓他自己判斷取捨
推 condensed:我沒看到有哪位老師在鼓吹學生與教師對立啊，現在只是討
→ condensed:論教學應該怎麼做。至於試卷迎合是倫理和策略的問題。
推 condensed:大家在這裡強調的「理想」是扮演好教學的角色 解釋清楚
→ condensed:觀念;而非要求學生與學校教師硬碰硬，這樣的理想能否照
→ condensed:進現實，操之在己。
推 nogoodid:所以c大也不否認這種“策略”了嗎
→ condensed:學生知情的狀況下 是一種策略啊 ；但教師知情而不告，是
→ condensed:失職。
→ crocker:"x = (2)^(1/2) => x = ±√2" 這裡有問題 (2)^(1/2)=√2
謝謝，那段我自己也打到腦昏了。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/07 10:15)