Re: [求助] 國中 四邊形面積

[xx52002 (梅露弟弟)]

令 BE、AG 交點為 H，BE、AF 交點為 I
目標：ΔBFI - ΔBGH 即為所求四邊形面積

設 ΔBHG = x，連接 CH，則 ΔCHG = 2x → ΔBHC = 3x
由於 ΔBHA：ΔBHC = AE：EC = 2：1 → ΔBHA = 6x

因此 ΔABG = ΔBHA + ΔBHG = 7x = 1/3 cm^2，得 x = 1/21 cm^2
→ΔBGH = 1/21 cm^2

連接 CI，設 ΔCIF = y，則 ΔBIF = 2y → ΔBIC = 3y
由於 ΔBIA：ΔBIC = AE：EC = 2：1 → ΔBIA = 6y

因此 ΔBFA = ΔBIA + ΔBIF = 8y = 2/3，則 y = 1/12 cm^2
→ΔBFI = 1/6 cm^2

得所求四邊形為 1/6 - 1/21 = 5/42

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: http://ppt.cc/L67j
: 這是數學版板友解的方法
: 想請問有沒有其他方法來著手解這題目???
: 因為這輔助線實在想不到
: 後面那步驟
: ΔBGG':ΔBFF':ΔBCE=1x12:2x(12+9):3x28=2:7:14
: 也用得很巧妙 夾同角  面積比等於兩邊乘積
: 希望大家提點一下
: 謝謝
: ___________________
: 做AP平行BC且P在AC外側，AP=BC
: 則ABCP為平行四邊形
: 延伸BD交AP於M
: 延伸BE交PC於N
: 則M,N分別為AP,PC中點
: 延伸BN與AP相交於Q點
: 則AM:MP:PQ = 1:1:2
: BE:EQ=1:2
: 再設BE交AG,AF於G',F'
: 假設BG'=a，G'F'=b，F'E=c
: 則BE=a+b+c，EQ=2(a+b+c)
: ΔBGG'~ΔQAG' ==> BG:AQ=1:6=a:(2a+3b+3c)
: ΔBFF'~ΔQAF' ==> BF:AQ=1:3=(a+b):(2a+2b+3c)
: 解上面兩條式子可得 a:b:c=12:9:7
: 再回頭看ΔBCE
: ΔBGG':ΔBFF':ΔBCE=1x12:2x(12+9):3x28=2:7:14
: 灰色區域四邊形GFF'G'面積 = (1/3)x[(7-2)/14] = 5/42

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→ southernsnow: 因BE線不垂直AC線，若是利用ΔBHA ΔBHC共同邊當底
→ southernsnow: AE:EC並不等於兩三角形高的關係吧?
→ xx52002: 不是，是用ΔBAE：ΔBCE = AE：EC (同高)，再同減掉ΔAHC
推 chivvy: 推!