Re: [解題] 平方根一問

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《matsunaga (ㄅㄧㄠ)》之銘言：
: 首先 我先說我的答案是0 有以下幾種解釋方法
: 解釋一: 國二初學平方根時，並還沒學到一元二次方程式，再者國中的數系頂多到實數系
: 所以平方根的定義應該是
: 滿足x^2=a 的x的"數" 由此可知 滿足x^2=9的數有 +3、-3 平方根有兩個
:                              滿足x^2=-1的數不存在 => -1 沒有平方根
: 由此推知                     滿足x^2=0的數 只有0 所以0的平方根是0 只有一個
: 解釋二: 方程式的"解"跟"根"是不同的兩回事 "根"是指滿足代數式的所有可能值，
: 所以 n次方程式必有n個根(且必須在複數平面)
:                                          "解"是滿足敘述中所有條件的結果
: 所以 若有問題說 正方形面積=1 則其邊長的解為多少? 總不會回答1or-1這個答案吧?
: 回到你說的平方根的定義 滿足x^2=0的解 講一個0就可以了
: 結論:其實在跟學生解釋原因時，要稍微思考一下他們所學的東西，用他們學過的來解釋
: 大概就是這樣 以上拙見 敬請見諒
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<1>

    解 & 根 的確是不一樣的意思，但至少先 google 一下定義吧

    自創新定義，若不知情的人看到這篇文章很容易被誤導


    何謂解 (solution):

        滿足方程式的 數/向量/... 都可稱為解.

        例如 x=1            是 x^2 = 1 的一解

             (x,y)=(1,1)    是 x^2 + y^2 = 2 的一解


    何謂根 (root):

        考慮一函數  y(x) , 其中 x 可以是 數/向量/...

        若存在一個量 r , 使得 y(r) = 0

        則稱 x=r 是 y(x) 的一根

                 也可稱為一個零點 (zero)

        例如 x = 1        是 f(x) = x^2 - 1 的一根

            (x,y)=(1,1)   是 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2   的一根


    所以   r 是 f(x) 的一根

    相當於 r 是 f(x)=0 的一解



    順帶一提, 為何根也可稱為零點

    因為它會讓 f(x) 降為 0

    相對應的名詞是 極點 (pole)

    簡單想就是這個點會讓 f(x) 趨近於 正/負無窮大/...

    當然較嚴格定義可以參考複分析


 <2>

    會糾結在這些問題上

    應該是因為代數基本定理的緣故

    但是 代數基本定理 是在說

    任何 一元複係數n次多項式 至少存在一個複數根


    只是該定理可以推得:

      非零 一元複係數n次多項式 會洽有 n 個複數根


    這句話只是想說明

    一元n次多項式 f(x) 最多就 n 個根，不會有再多的的根

    而非強調, f(x)=0 的解 一定要把 n個都寫出來才算對



    並且也不該跟學生灌輸, 給定n個解可以還原回原始方程式

    這種 in general 不可能辦到的事情, 就算辦到也不知意義何在

    例如:

      x=0 <=> x^2=0 <=> x^3=0 <=> ... <=> |x|=0


      若要求學生寫 x=0,0   (Note: 正式寫法是 x=0, order = 2)

      請問對應的原始方程式為何?  為何不能是 |x|=0 ?


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    求解方程式的一個正確思維

    要想成是, 你想拿到 f(x) 的某些屬性，做某些事情

    例如你想知道 f(x) 的 zeros/poles

    在 D 下是否 compact、differentiable、黎曼可積、...



    只是對高中生而言， f(x) := 一元n次多項式

    想拿到屬性: 根

       x^2 的根為 0 , order = 2

   <=> x^2=0 的解為 x=0



    但是寫 x = 0, 0  理由不該是為了重建 f(x)

    因為單給 zeros/poles 的資訊, 本來就無法得知 f(x) 的全貌

    即使考慮 f(x) 是多項式

    怎麼知道原生的 f(x) 是 x^2, 2x^2, 3x^2, ... ?




    這道理很淺顯易懂

    我知道一個人的喜怒哀樂

    但還是沒辦法知道這個人的全貌, ex: 名字、身高、體重、...

    不該有以貌取人的想法在裏頭

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1443329044.A.89F.html
推 matsunaga: 因為我想用的是讓國中生能理解的方式說明。所以相對的
→ matsunaga:  各種敘述 定義比較不嚴謹。 這點比較不好意思。我有go
→ matsunaga: ogle 過相關定義 其實我是清楚的 造成誤解比較抱歉
    我會這樣說是因為您的文章提到:

      "n次方程式必有n個根"

    應該要改成:

      "n次多項式必有n個根"


    通常文章寫錯，我看到的當下會想成是: 大家看得懂就好

    但是說文解字 解/根，用字要精確，無所謂嚴不嚴謹

    方程式 跟 多項式 描述的東西不一樣


    若要講給國高中聽，其實只要強調以下幾句:

        根 => 多項式 or 函數
        解 => 方程式


    我以前也是傻傻搞不清楚 解/根 的差異

    因為老師都教錯，連書本也都會寫錯

       "x^2 = 1 的兩個根分別為 1, -1"

    很少人知道這句話錯在哪，但大家還是講的很開心
※ 編輯: doom8199 (36.236.144.121), 09/27/2015 13:55:46
推 math999: 用心,強
推 holysword: 推
推 matsunaga: 推 多學到了一課 感謝
推 paggei: 所以"根"與係數的關係主要是描述多項式而不是方程式囉@@？
推 kend: 所以9的平方根要解釋成x^2-9的根??怎麼好像更難懂了><
推 diego99: http://www.mathwords.com/r/root.htm
推 diego99: http://goo.gl/CdnYR3
→ diego99: 你會發現，「方程式的根」、「多項式的根」，都有人用。
→ diego99: 所以你文內的老師沒有教錯，書本也沒有寫錯喔。
推 diego99: http://goo.gl/OPa911 再補充一個網頁
→ yandin: 真數學人!!
    所以我才說很少人知道 root 的 "指涉" 對象是 function
    因為一堆文章都寫錯
    但有些文章會有 eq. + root 相關字眼交雜，並非真的寫錯
    而是要自己把 root 解讀成在描述 function 的某些特性點 (f=0)

    我覺得 wolfram alpha 就做了一個很好的示範
    FindRoot / Solve  的 input argument 分別是 函數 跟 方程式
    當然你在上面亂打  root of x^2 - 9 = 0
                      zero of x^2 - 9 = 0
                或是  solve x^2 - 9

    它還是會盡量用 regular expression matching 列出 user 可能想要的東西


    另外 9的平方根 就是 9^(1/2)
         9開根號   就是 √9

    只是國高中數學用相對簡單明瞭的字眼去解讀
    "根" 背後就帶有 f(x) = 0 這個條件式
    不用刻意解讀成 x^2-9 的(正)根   (要這樣定義也無不可)
    所以用 x^2 = 9 來定義何謂 square root(s) 基本上跟 根/解 的本意無相衝
※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/28/2015 18:06:09
推 diego99: 那請問  "x^2 = 1 的兩個根分別為 1, -1" 是錯在哪？
→ diego99: 或者說，除了你之外，有其他文獻說這樣是錯的嗎？
推 vvbird: 如果照原 po 的是對的, 那課本可能要改了
推 vvbird: 因為課本裡對"一元二次方程式"有"根"與係數的關係
推 vvbird: 那應該改成"解"與係數的關係, 對嗎?
推 vvbird: 另外, 我也好奇文獻出處?
推 Desperato: 推推
→ Desperato: 推不需要硬寫0, p
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    這樣講可能太不負責任 = =a
    找文獻出處可能要大家自己多看學術論文資料 or 科普書 (複變、代數、...)
    我也不是因為看了一兩篇文獻就改掉
    而是在學期間才慢慢修掉這些定義上的認知
    寫高階語言 (如 Matlab)，解方程式相關函式 *root*
    也都在操作 多項式/函數 (= 0)

    這裡的學術論文不光指 數學
　　還有其它領域 (如通訊、影像處理、...) 解方程式相關的用詞也可觀察一下
    不敢說這些學術資料一定 100% 一致，但大多數說法如本篇描述


    至於"根"與"係數"的關係，就看您怎麼想
　　可以想成是:
        求 f(x) = ax^2 + bx + c  的根  (a≠0)
        此時 根 和 a,b,c 之間有哪些關係
        例如 判別式 D(a,b,c) = 0, 代表兩根相等, ...

    整個還是說得通 (很像在玩文字遊戲XD)


    說到這，我得強調一點
　　國高中課本如何定義，就以它為主 (除非它也自己訂得亂七八糟)
　　我的本業非教師，並不清楚目前的教本是否 "根=解" ?
　　但對我而言，這種解讀 光程式語言就相牴觸了
※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/29/2015 12:01:55
推 diego99: 說到底你還是沒回答我的問題ˊˋ
→ diego99: 那我只能說，希望你是在數學界上具有影響力的學者。
→ doom8199: 這篇不是用來標新立異，而是 root 跟 solution 對一批
→ doom8199: 人而言的確是不一樣。　名詞定義是為了方便溝通
推 diego99: 所以啦，希望你是有影響力的學者。
→ doom8199: 連開發程式語言的人都這樣子訂 interface
→ doom8199: 所以不是我說了算，而是順應習慣與認知
→ diego99: 那，文獻呢？
→ doom8199: 自己查書很難嗎XD 找了一堆相關資料給您對我的工作又沒
→ doom8199: 任何助益
推 diego99: 好一句「自己查書很難嗎？」 你知道你沒附上任何根據嗎？
→ diego99: 那我還是那句話，希望你是數學界上具有影響力的學者。
→ diego99: 說的好像別人看過的書比你少ˊˋ
→ doom8199: matlab/wolfram 不算根據之一嗎?  即使我貼出來，故意找
→ doom8199: 麻煩的人一樣可以說: "怎麼證明它一定是對的"
推 diego99: 你知道你說的這件並無法支持你的論點嗎？
→ doom8199: 複變函數又不是甚麼稀有課本，總會有哪裡定義 root 吧
→ diego99: 另外，我前面就提過這些用法都有人甚至是教授使用
→ doom8199: 總會有課本證明代數基本定理，去翻一下那些書不就得了
→ diego99: 所以你是根據幾本複變課本，才說其他的用法是錯誤的呢？
→ diego99: 哇，又講課本證明代數基本定理ˊˋ
→ diego99: 希望你是數學界「有影響力的學者」喔。
→ doom8199: 所以，我也可以反向找你麻煩，問說: 您怎麼證明那些用法
→ doom8199: "一定"是對的?
→ diego99: 我前面已經跟你說，這些用法都有學者用過喔
→ diego99: 還是你比學者更權威，所以他們中有一部分是錯的？
→ diego99: 這些人不會彼此批評對方敘述是錯的反而你第一個先講出來
→ diego99: 那我當然認為你是相當有影響力的阿。
推 KDDKDD: 所以你建立的觀點是從程式語言出發？
→ doom8199: 天阿，推文也能被你貼到 fb, 記恨有需要到肉搜程度?
推 diego99: 原來我截圖放我自己的FB對你而言是稱為記恨喔？
→ diego99: 那難怪你會特地發這一篇文章，只是你特別在這邊說的原因
→ diego99: 是打算要轉移焦點嗎？
推 ptlove1222: 請注意推文是否偏離文章主題