[解題] 高二 點到平面的距離

[sakuraai (恰比)]

1.年級： 高中二年級下學期
2.科目： 數學
3.章節： 2-1 空間中的平面
4.題目： 板橋高中100年第一次段考題目 填充5
         三平面x+2y+3z=1 ,2x+y+3z=1 ,3x-y+2z=1
        ，若空間中一點P(a, b, c) ，到三平面的距離分別為L, M, N
        ，試求L^2+M^2+N^2 有最小值時，L:M:N =
         答案(L:M:N=5:7:3)

5.想法： 第一個方向直接朝著點到平面的公式去解 但發現會出現a+2b+3c-1的絕對值
         題目問了平方是可以成功把絕對值處理掉 但內部不是個好化簡的東西
         有嘗試搭配了算幾不等式或柯西不等式找出最小值 但發現還是解不出來

         第二個去分析三個平面的關係 計算後應該是兩兩平面交一線
         P點應該會落於內部空間的位置 但是仍然算不出來 因此請各位前輩
         看能不能解出或者給個方向思考呢 謝謝



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推 diego99: 利用三角形面積去找限制條件。
→ diego99: 這題沒意外應該會做的滿辛苦的。
推 diego99: 喔對，這題或許沒必要使用點到平面的距離公式，
→ diego99: 看來是故意要誤導學生用的。
→ sakuraai: 結果我也被誤導了QQ
推 zonw:  平面順序有錯嗎? 我用你的順序+柯西 算出 5:7:3
推 zonw: 你給的答案是錯的 5:7:3 是對的
→ sakuraai: 剛剛檢查一下發現 我打錯答案了 抱歉
※ 編輯: sakuraai (123.193.240.119), 03/03/2016 13:06:27
→ sakuraai: 感謝大家的分享 我已經成功算出來了 謝謝大家
推 Xilalala: 請問過程怎麼算~~
推 hrjesus: 中線定理嗎？  是不是重心呢
→ sakuraai: 我後來是用柯西求出的 中線定理? 這樣要切在同平面嗎
推 ddxu2: 問題最後可以看成是一個三角形中間有一點與三邊距離為L,M,N
→ ddxu2: 算出這個三角形的三邊長a,b,c後，(L^2+M^2+N^2)(a^2+b^2+c^
→ ddxu2: 2)>=(aL+bM+cN)^2
→ ddxu2: 後者是定值。