[分享] 餘角定理，適用於廣義角的說明

[oodh (oodh)]

因為 FB 上剛好有老師在討論 三角函數的「角度變換」，
所以分享一下我的教法和講義截圖。

-- 特別把右上角，關於「餘角定理 適用於廣義角」 的證明 另外截了一張
http://imgbox.com/cjLWelts
http://imgbox.com/HTuErTmv

^_^


一、基本上，這整個教學之前，要先讓學生瞭解「 x = r cosθ ，y = rsinθ ， y/x
= tanθ」 ；

如果學生能理解這一點，就能接受(r固定時)
「只要 x 不變，cos就不變 -- 所以上下翻的時候， cos不會變。」
「只要 y 不變，sin 就不會變，所以 左右翻時，sin就不會變」
「只要 x/y 的不變，tan 就不會變，所以走到斜對角時，tan不會變」



===
二、角度變換一共五種方式：

θ 加減360度，三個三角函數都不變
θ 加減180度，在平面座標上，會走到「斜對角」，只有tan不變、sin和cos 要加負號。
 sin(θ+180) = -sinθ

θ 被180度減 (也就是變成補角) ，在平面座標上，會是「左右翻轉」，sin值不變'
cos 和 tan 要加負號。 sin(180-θ) = sinθ

θ 乘以負1 ( 也就是變 -θ)，在平面座標上，會是上下翻，cos值不變、sin和tan要加
負號。 sin-θ = -sinθ

θ 被90度減 (不論θ本身是否為銳角) ，就是把它視為餘角，cos(90-θ) = sinθ
 ---- 可以從平面座標上，向學生解說「若θ不是銳角，這點也一樣會成立」(如截圖)








以上五點教完後，其他的角度就是透過上面五點去推論；比如說sin(270-θ)
如果要換成，以θ為角度的三角函數：
(先減180) => sin(270-θ) = -sin(90-θ)
(再換餘角) => sin(270-θ) = -sin(90-θ) = -cosθ

===
三、「若角度不是銳角， 90-θ 也可以適用餘角定理」這點，

step1：我自己是先畫一個第二象限角為 θ，終點為 P(a,b) 其中a是負的

step2：先把它扣90度， θ-90 的終點會變成 第一象限的 (b,-a)
(左、右兩個直角三角形 全等)

step3：再把它乘一個負號，變成 90-θ，終點就會變成 第四象限的 (b,a)

由此，就可以得出，即便是鈍角，依然適用
sin(90-θ) = cosθ
cos(90-θ) = sInθ



--
有熊老師陪你教數學               (影片放在youtube頻道)
YouTube 頻道
http://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/
Facebook專頁
https://www.facebook.com/Teacher.Koala
歡迎前來分享教學心得 (也可以來問問題喲~~)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.84.61.202
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1479401675.A.AE8.html
※ 編輯: oodh (219.84.61.202), 11/18/2016 00:55:12
→ IvanL: 你的說法有點複雜~~~恩~~~~最好從基本定義進入
→ IvanL: 光第一點就很亂了~~~~
→ IvanL: 上下翻~左右翻，斜對角~真的頗亂的~~~
推 DearDaniel: 我只教學生第一點 在旁邊畫個小圓出來就一切解決了 背
→ DearDaniel: 太多東西沒用
推 shenasu: 樓上+1 畫圖 就出來了 然後把θ看成銳角 之後變號小事
推 star1candy: 這邊課本講義都寫很多，還是實際去走圖走到銳角記得
→ star1candy: 分辨正負 不要去記那些 教學生實際用走的他很有感
推 shyfox: 畫圖說故事學生會比較好理解
→ shyfox: 如果要這樣條列式列的話也必須加上圖解
→ oodh: 如果是有數字的角度，那當然直接畫就可以；但某些問題的角度
→ oodh: 本身就是代號，而且「就認定是銳角」也會讓學生有疑惑。
→ oodh: 所以我個人是都講，如果是有數字的角度，也是就直接畫。
推 alamabarry: 兩張圖八個三角形解決...
推 shenasu: 把θ銳角只是學習經驗上 狹義三角好上手 而這邊就只是為
→ shenasu: 了變號而已 對它們來講 第一象限最容易上手的(狹義定義)