[求助] 餘弦定理之推導與定理證明的必要性

[winter3036 (楓月)]

tutor版首PO
小弟不才家教經驗5年
之前都是用坊間參考書去家教
直到最近有走補教的想法
於是開始自己做講義
在弄餘弦定理的時候突然有點疑惑
想像大家討教一番

數學定理如果是對初學的學生
我通常會證明一次給學生看
儘管最後解題通常只會用結果
但我想這樣至少讓它有一種"原來是這樣"的感覺
而不會有就不管怎樣背起來

只是我看了看不同的參考書
發現餘弦定理的證明方法略有差異
大概分成
1.單純用三角形和畢氏定理推導
2.用坐標和兩點距離公式推導
我自己以前這段的時候是用2.
極坐標配兩點距離公式然後還用和角公式化簡
(因為我沒有把讓其中一個邊放在始邊上)
如附圖(這是我現在講義編的內容)
http://i.imgur.com/q3DCeKt.jpg

所以想請教大家
對於這種定理類的證明過程
會選擇簡單的方法(我覺得1.相對簡單)
還是說只要在合理的範圍內講解就好

另外也想聽聽大家對於定理講述的心得或建議
就是教學的時候是否會這樣證明或是快速帶過
我個人是高一高二初學會推導
高三複習會帶過
但如果是高三同學跟我說
他高一高二都沒在念書也算初學的..
我也是選擇帶過(因為沒時間)
以上麻煩大家了

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推 teddy9685: 這種幾何定理建議一開始推導的方式越簡單越好，因為未
→ teddy9685: 來也不會記住，推一次就好，之後應該是將重點放在如何
→ teddy9685: 連結圖形直覺式反應公式，幫助學生能快速連結即可
推 Vulpix: 反正幾何界都是把它當定義的。推導只要方便教就好。
→ Vulpix: 不管學生未來走哪條路，餘弦定理的證明都不再有重要意義。
推 xx52002: 如果證明對記憶滿有幫助我就會證，其他就簡單帶過…
推 hnxu: 以教材順序和角公式在餘弦定理後面
推 nogoodid: 老師文中提到 希望對初學的學生 至少讓它有一種"原來是
→ nogoodid: 這樣"的感覺 可是這個證明卻又有用到暫時無法立即說明
→ nogoodid: 的cos差角公式 私以為這樣很難讓學生達到"原來是這樣"
→ nogoodid: 的目的性
→ winter3036: 好的，感謝大家的建議，我會再改善這部分
推 IsMe1086: 可以參考99課綱內寫的推法，非常簡單
→ winter3036: 有哦我就是有看到那個方法，所以才在想哪種最適合，感
→ winter3036: 謝樓上
推 kevinwx: 不太熟悉高中課綱 不知道在這部分的時候有沒有教過向量
→ kevinwx: 了 如果有的話 直接用向量去推導應該比較簡單吧？
→ winter3036: 向量在後面，所以沒辦法用
推 zeldaaice: 用現階段最簡單的方式證明，其他證明方式可以等以後
→ zeldaaice: 學到相關章節，並且時間允許的情況下再講一次
→ zeldaaice: 給學生瞭解「原來方法其實很多」，建立題目與解答並非
→ zeldaaice: 固定解法的觀念，而是自由多元的。 這是我的方式
→ winter3036: 了解，我把這段移到和角公式，然後用課綱的方法證餘弦
→ winter3036: 定理，感謝您！
→ quark: 正餘弦定理是1-3  後來才會學到1-4的和角公式
→ quark: 附圖的那個證法太麻煩  在台上這樣教  保證下面睡一片
→ quark: 就算要用坐標證  也沒必要用和角呀  把一邊放在正x軸即可