推 alamabarry: 數值有這麼小? 還是我誤解了題目的意思 10/13 23:37
答案應該沒錯, 我用Excel算如下
n 2^n n+2 (2^n)/(n+2) Total
1 2 3 0.666666667
2 4 4 1
3 8 5 1.6
4 16 6 2.666666667
5 32 7 4.571428571
6 64 8 8
7 128 9 14.22222222
8 256 10 25.6
9 512 11 46.54545455
10 1024 12 85.33333333 190.205772
11 2048 13 157.5384615 <---因為>100沒加進去
※ 編輯: Barney (223.140.115.186), 10/13/2014 23:46:11
→ wayn2008: 應該不用算到小數第一位吧...大概算到整數就夠了 10/13 23:45
推 tzhau: 找整數就好 10/13 23:47
→ Barney: 嗯嗯...的確是，可是這種題目只有硬算法嗎QQ 10/13 23:49
→ wayn2008: 這讓我想到ratio test... 10/13 23:51
→ wayn2008: 然後用1+2+2^2+...+2^n=2^(n+1)-1 10/13 23:54
→ wayn2008: 然後再慢慢估計之類的~~不過算出來還是比較精確 10/13 23:55
→ wayn2008: 23:54 是說 可以先把85*2=170 然後去推算多多少這樣~ 10/14 00:00
推 KDDKDD: 這題一定要用很帥氣的解法嗎 10/14 00:00
→ KDDKDD: 我是覺得用暴力加估計就很快了 10/14 00:01
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作者: KDDKDD (KDD) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 高一數學-數列級數
時間: Tue Oct 14 08:04:35 2014
: 4.題目：
: 數列 2/3, 4/4, 8/5, 16/6, ...., (2^n)/(n+2)
: 將值小於100的項加總後，較接近以下何者。
: (A) 160
: (B) 180
: (C) 190
: (D) 220
: (E) 320
有想到一個作法 讓你參考看看
1. 先把最後一項算出來
n=10 --> 1024/12
2. 假設加總值是S
則 2046/2 > s > 2046/12
又 2046/2 > 2046/10 > 2046/12
3. 比較以下兩種數列的不同
2/3 4/4 8/5 16/6 32/7 64/8 128/9 256/10 512/11 1024/12
2/10 4/10 8/10 16/10 32/10 64/10 128/10 256/10 512/10 1024/10
上減下 2*7 4*6 8*5 16*4 32*3 64*2 128*1 256*0 512*(-1) 1024*(-2)
___ ___ ___ ____ ____ ____ _____ _____ ________ _________
3*10 4*10 5*10 6*10 7*10 8*10 9*10 10*10 11*10 12*10
則 S - 204.6 大約是 0.4+0.6+0.8+1.0+1.4+1.6+1.4+0-4.7-17
S大約是190
分母用10的原因是直覺XDD
其實從結果來看 用11會更接近答案
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.143.108.215
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1413245077.A.7E8.html
※ 編輯: KDDKDD (220.143.108.215), 10/14/2014 08:05:39
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作者: e2167471 (喬妹) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 高一數學-數列級數
時間: Tue Oct 14 10:06:09 2014
※ 引述《Barney (legendary)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：
: 數列與級數
: 4.題目：
: 數列 2/3, 4/4, 8/5, 16/6, ...., (2^n)/(n+2)
: 將值小於100的項加總後，較接近以下何者。
: (A) 160
: (B) 180
: (C) 190
: (D) 220
: (E) 320
: 5.想法：
: 答案為(C)，目前的想法只有大略估算每一項的值到小數點第一位，
: 再加總。 其實就是暴力法硬算。
: 但是就是想不到要怎麼解，比較漂亮。
: 想請教各位是否有比較簡單的估計法呢？(不一定要算出正確值、或導出通解)
: 感謝各位真強者，撥冗回覆Orz
如果選項是170 180 190 200 210，那就不能亂算，乖乖暴力解-.-
不過這題題目算仁慈，選項間隔滿大的，所以我也提供一個方法供參考
首先把<100的項列出來應該是不可避免了，對數字稍微敏感一點，應該不會太慢
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
- - - -- -- -- --- --- --- ----
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
└───┘ └────┘ └─────┘ └越大的項越不要省
三個一組，以中間項為中心做估計
前一項比中間項的一半大一點，後一項比中間項的一半小一點
姑且當作互補，以選項分配的情況來說，已經足以初步判斷是 ABC / D / E 哪一區
(0.5 1 2) (2.3 4.6 9.2) (12.8 25.6 51.2) 85
3.5 16.1 89.6
這樣加一加大概194，剛好位於ABC區的上界，可以確定是C
中間小數點怎麼省就看個人造化(?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.20.39
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1413252372.A.E7F.html
※ 編輯: e2167471 (140.112.20.39), 10/14/2014 10:08:21
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: XII (Mathkid) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 高一數學-數列級數
時間: Tue Oct 14 13:47:15 2014
※ 引述《Barney (legendary)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：
: 數列與級數
: 4.題目：
: 數列 2/3, 4/4, 8/5, 16/6, ...., (2^n)/(n+2)
: 將值小於100的項加總後，較接近以下何者。
: (A) 160
: (B) 180
: (C) 190
: (D) 220
: (E) 320
: 5.想法：
: 答案為(C)，目前的想法只有大略估算每一項的值到小數點第一位，
: 再加總。 其實就是暴力法硬算。
: 但是就是想不到要怎麼解，比較漂亮。
: 想請教各位是否有比較簡單的估計法呢？(不一定要算出正確值、或導出通解)
: 感謝各位真強者，撥冗回覆Orz
設 n+a>0,
1 -1 2
----- □ ----- + -------
n+2 n+a n+a+1
<=> an □ -a^2+a-2
-1 2 1 -1 2
故 ----- + ----- < ----- ≦ ----- + ---
n n+1 n+2 ↑ n-1 n
↑
n≧4
n 2^k
令 S_n=Σ -----
k=1 k+2
2 4 8 n -1 2 1 2^{n+1}
則 S_n ≦ --- + --- + --- + Σ 2^k(---- + ---) = ---- + ---------
3 4 5 k=4 k-1 k 15 n
n -1 2 2^{n+1}
S_n ≧ Σ 2^k(---- + -----) = -2 + ---------
k=1 k k+1 n+1
故 184.~≦S_10≦204.~
選 (C)
--------------------------------------------------------------------------
S_10 其實直接算就可以了...
上界 1 1 2 3 5 8 15 26 47 86 => 194
2/3 4/4 8/5 16/6 32/7 64/8 128/9 256/10 512/11 1024/12
下界 0 1 1 2 4 8 14 25 46 85 => 186
※ 編輯: XII (140.112.25.105), 10/14/2014 13:56:33
推 diego99: 這篇最後可能比較像是該出題老師的想法 10/16 00:12