Re: [問卦] 無法理解三門問題機率是2/3算智障嗎

[b852258 (Lion)]

這個問題在八卦版上已經討論過好多次了吧，可見這個數學問題真的是
很有迷惑性

直覺會被騙也正常，畢竟連當初的數學家也搞錯過。

這個問題熱門的時候我也看過好多種解釋方法來說明，包括前面提到的
比較直覺的增加到100扇門、10000扇門，或者是偏理性的窮舉法之類的
，不過這些方法當時我覺得還是很難去理解，直到我看到一個說明，這
個說法就可以讓我很容易理解，分享給還在糾結的版友。

先假設A、B、C三扇門中，A是獎品，B、C是羊

在不換門下，可以中獎的情況，只有一開始直接選到A門，機率是1/3。
在換門下，可以中獎的情況，是一開始選B或C門，因為選B，主持人一定
要開C門，選C，主持人一定要開B門，因此機率是2/3。

就這樣，我是覺得這個解釋是最簡單，也最好理解的。

題外話，個人覺得機率本身就是一種很玄的數學，就連數學界對於機率的
本質解釋都分成頻率學派跟貝氏學派。

比起三門問題，我覺得二孩悖論更違反直覺。

二孩悖論是在說，假設現在有兩個小孩，已知至少有一個小孩是男孩，請問
另外一個也是男孩的機率是多少？

答案是1/3，可以用窮舉法就知道，可能的結果有下面4種

男 男
男 女
女 男
女 女

其中一個是男孩的選項有3個，兩個都是男的是1個，所以機率是1/3。

到這邊都還正常，不正常的要來了。

一樣是兩個小孩，已知至少有一個小孩是男孩，而且他是單眼皮，請
問另外一個也是男孩的機率是多少？

你可能會覺得，還是1/3啊，單雙眼皮跟性別有什麼關係？

弔詭的就在這邊，依據數學計算來說，機率是3/7。

我們先不考慮基因上的問題，假設單雙眼皮的機率是一樣的，把所有
的可能性窮舉出來

男 男 | 男 女 | 女 男 | 女 女

單 單 | 單 單 | 單 單 | 單 單
單 雙 | 單 雙 | 單 雙 | 單 雙
雙 單 | 雙 單 | 雙 單 | 雙 單
雙 雙 | 雙 雙 | 雙 雙 | 雙 雙

可以看到，至少有一個男孩且是單眼皮的可能性有7種，其中兩個都是
男的有3種，所以機率是3/7。

我們再把思路拓展，至少有一個男孩，且這個男孩是星期一出生，請問
另外一個也是男孩的機率是多少？

當我們把所有可能性列出來，因為有點多有興趣的人可以自己表列，結
論是，至少有一個男孩，且這個男性是星期一出生的可能性共有27種，
其中兩個都是男的可能性有13種，所以機率是13/27。

我們甚至可以推導出一個公式 (2n-1)/(4n-1)，n就是額外條件的可能性
像是單雙眼皮是2種，n=2，機率就是3/7，星期一到日共7天，有7種可
能，n=7，機率是13/27，我們也可以去假設這個男孩是1月出生的，那
n=12，機率就是23/47。

神奇的是，當n趨近於無窮的時候，這個公式的極限值=1/2。

也就是當我們給了一個有無窮可能性的額外資訊時，會讓另外一個小孩
是男孩的機率從1/3增加為1/2。

例如我說，至少有一個是男孩，且這個男孩的名字叫小明，或者這個男
孩喜歡吃香蕉，這些條件的樣本空間都接近無窮，會讓另外一個小孩也
是男孩的機率變成1/2。

而且這在數學上是成立的，這才是讓人覺得超級詭異的悖論。

以上分享

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1786128323.A.EF3.html
推 ArSaBuLu: 害我跑出去看自已是不是進錯板
推 StylishTrade: 現在有100個門 只有一個有車
→ StylishTrade: 隨機分兩組 各50個門
→ StylishTrade: 第一組打開40個沒車的門
→ StylishTrade: 第二組打開10個沒車的門
→ StylishTrade: 剩下50個門 有車機率會一樣嗎???
→ StylishTrade: 這跟不分組 100個門
→ StylishTrade: 直接打開50個沒車的門 到底差在哪??
推 XDDDpupu5566: 難怪我機率分數那麼低
→ StylishTrade: 先分組再打開門 機率分布就會不一樣
→ StylishTrade: ??
推 Supasizeit: 這是條件知道的順序改變啊
→ StylishTrade: 分組就會把那一組的機率總和鎖死??
推 rick917: #1MfN3FgZ (joke) 三門在JOKE板有梗圖XDD
推 Antia691: 有100組女優 如果其中一個是處女 而另
→ Antia691: 一個也是處女的機率是1/3；但加上特殊
→ Antia691: 條件 其中有一個是被我射在臉上過的處
→ Antia691: 女 那其中一個是處女 另一個也是處女的
→ Antia691: 機率就會趨近於1/2 因為我只會射在處女
→ Antia691: 臉上
→ jayemshow: 也有可能你一開始選到A 但主持人故意
→ jayemshow: 開 B 或 C 問你要不要換啊= = 大家糾
→ jayemshow: 結的是這一塊
我覺得你可能誤解了，因為我的解釋是以要中獎為前提，選A又換那是不會中獎的選項
推 Antia691: 樓上 即使你一開始選到A都不會改變主持
→ Antia691: 人幫你開一個羊門 等於你自己原先1/3
→ Antia691: 不換還是1/3 主持人排除一個 你換就是
→ Antia691: 2/3
推 kcclasaki: 數學真的用來聽分析時很有趣 但要自己
→ kcclasaki: 算或考試時 就讓我頭疼XDD
※ 編輯: b852258 (106.104.236.122 臺灣), 08/08/2026 04:02:54
推 windydancer: 感謝大大分享
→ LFD: 不知道為什麼好像還是有人看不懂，n道門你先
→ LFD: 選一個此時中獎機率1/n，主持人開到剩一個問
→ LFD: 你換不換，不換中獎機率就1/n，換了變1-1/n
→ scarbywind: 你選的門沒被檢查過，另一個有 機率差
→ scarbywind: 就源自於此