作者Hyuui (修)
看板Math
標題Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間Fri May 30 09:01:37 2014
我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html
如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。
也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。
而這篇文章要證明以下式子：
Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)
其中B_n為Bernoulli number。
這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。
而且有了該式，我們顯然可得：
Zeta{0} = B_1 = -1/2
= 1 + 1 + 1 + ...
Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12
= 1 + 2 + 3 + ...
注意：
嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中，
其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。
所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。
──
1.
我在之前的文章提到：
把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果：
a_0 = -1/2
a_(2k) = 0
a_(2k-1) = B_2k / (2k)!
這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為：
t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }
且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0
所以
t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }
做個簡單的多項式積分：
Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt
= Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt
= Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }
它的前幾項是：
k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)
k=1, B_1 / t = -1 / (2t)
k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)
k=3或更大的奇數, 0
k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)
k=6, ... (省略)
注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。
因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。
//
Chatterly：
鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程
重點是做手術 重點是做手術
-> 手術結果就是在下面上色的
重點是做手術 重點是做手術
---
s-1 1 s-1
∞ z 1 z
1 1 1
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+
---- - ---- + ------
0 z 0 z
e -1 e -1
s-1 2s 12(s+1)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
手術在這裡,媽,我阿榮啊
我剛手術完要吃鐵牛運功散啦
s-1
∞ z
+∫ ------- dz
+ z
1 e -1
//
(他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD)
所以手術失敗，患者宣告不治。
別說鐵牛運功散了，連生生造化丹都救不了你。
而且你知道嗎？
ξ叫作"xi"，ζ才叫作"zeta"，又是一個BUG。
為了避免讀者混淆，我將正確的式子再寫一次：
s-1 s-1 s-1
∞ z 1 z ∞ z
Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫ ------ dz + ∫ ------ dz
0 z 0 z 1 z
e -1 e -1 e -1
即是我之前文章中寫的：
Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
請注意，z=1是極點，但該點並不影響積分，不需要做什麼手術避開。
──
2.
在以下這篇文章中，給出了Zeta{-n}的計算方法。
zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/
印象中，這應該是Ahlfors的證法。
我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。
複習一下sin{x}的連乘積表示法：
sin{x} = x * Pro_n=1~∞ { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }
故
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= z * d/dz ln{ sin{z} }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }
= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }
= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }
注意到式中已經出現
Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}
考慮另一種展開：
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]
= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]
= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }
比較係數後可得：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
──
3.
接下來，假設大家知道Riemann functional equation：
Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}
為避免篇幅過長，此處將證明略去，有興趣可自行參考複變課本。
當 z=-2k+1
Zeta{-2k+1}
= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}
= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}
我們已經知道：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
代入做整理：
Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k
最後可得：
k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12
k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2
Q.E.D.
Enjoy it!
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推 jacky7987 :所以假設我們真的對Zeta做某個解析研拓 在我們拓的 05/30 09:21
→ jacky7987 :地方他已經不是我們認為的級數和 是這樣嗎? 05/30 09:21
→ jacky7987 :也就是我們其實只能寫下Zeta{0}這個符號這樣 05/30 09:22
→ Hyuui :是的。所以我才說：建議把那個當作有趣的把戲即可。 05/30 09:22
推 yw1002 :Poincare conjecture: Ricci flow with surgery 05/30 10:07
推 yw1002 :個人淺見認為，一般函數解析性都是根據數列級數 05/30 10:14
→ yw1002 :是加減總和(summation)--這只是代數的binary operati 05/30 10:14
→ yw1002 :其中一個;但是factorial階層式的級數，在座標上的 05/30 10:15
→ yw1002 :曲線軌跡並不像Riemann integral那種summation明確 05/30 10:15
→ yw1002 :偏偏在應用上階層例如stirling formula在統計很廣泛 05/30 10:16
→ yw1002 :所以也許從computational complexity theory觀點 05/30 10:16
→ yw1002 :來看是比較heuristic 05/30 10:17
→ yw1002 :當然zeta function跟黎曼猜想就不用我說了 05/30 10:18
→ wwfc :請問那位Chatterly是交大物理所的哪位學生？ 05/30 11:13
→ wwfc :我的老闆想瞭解一下。 05/30 11:13
→ henrypinge :你老闆想了解?? 05/30 11:50
※ 編輯: Hyuui (61.224.72.154), 05/30/2014 13:27:45
→ cacud :你老闆是誰?? 05/30 15:49
推 yueayase :我仔細看他寫的積分式，就覺得很疑惑，e^z-1=0=>z=0 05/30 23:03
→ yueayase :幹嘛分段積?? 05/30 23:03
推 bowin :推好文! 05/30 23:32
推 asaaaas :跟樓樓上有同樣疑惑，為什麼要從1切開? 06/06 00:39
推 DDMO :他不是交大物理的學生 06/14 03:43