作者MathWang (5000+)
看板Math
標題Re: [中學] 音階與數學的指數關係
時間Thu Jan 8 18:38:52 2015
謝謝wohtp專業回應
我是這串討論的原問
現職是數學老師，也有十餘年管樂團小號經驗(非術科)
回應討論部分內容
※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言：
: 於是終於有人想到了：去他的整數比，直接切成十二等分吧，反正都嘛差不多。
: 令 a = 2^(1/12)，以 f 為基礎頻率的七聲大調音階就變成：
: f-f*a^2-f*a^4-f*a^5-f*a^7-f*a^9-f*a^11-f*2-...
: 要高一個音？簡單，基礎頻率換成 (f*a^2) 就好：
: (f*a^2)-(f*a^2)*a^2-(f*a^2)*a^4-(f*a^2)*a^5-...
: 每一個調性的每一個音都是 (f*a^n) 這樣的型式，所以轉調不再需要重新調音了！
: 我們得到任意轉調的自由，但是原來漂亮的整數比已經不見了。如果有
: 哪個十五世紀或更早的音樂家穿越過來聽到現代音樂，一定會覺得我們的樂
: 器全部都微妙的走調。但是對於現代音樂家，尤其是那些一首歌不轉調七次
: 不過癮的J-Pop作曲家來說，這大概只是小小的犧牲吧。
以上應該就是99課綱數學教授想要連結到指數函數的部分
f(x)=f*a^x，
對應一般的唱名 do，re，mi，fa，sol，la，si
x=0， 2， 4， 5， 7， 9，11
再往下設計題目
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.246.232
: ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420565528.A.D71.html
: → recorriendo : 十二平均律是對"鋼琴"(或其他離散的樂器)的轉調方便 01/07 02:56
: → recorriendo : 像提琴這種可以調連續性音高的 還是會要求用純律 01/07 02:57
: 提琴的四條弦的確傳統上會調成整數比，因為聽拍頻調音很方便。但是手指按弦
: 的位置就完全看演奏者高興了。
: 如果不是從小到大科班訓練出身，譜上同一個D#，多少人會去刻意區分提琴跟鋼
: 琴的音高？
: → recorriendo : 還有 第一句"音階跟指數本來是毫無關係的"是錯的 01/07 02:58
: → recorriendo : 因為人的perception是遵守一個對數律 01/07 02:59
: → recorriendo : 就拿你的第一點響度來說 聲音的振幅變成2倍 聽起來 01/07 02:59
: → recorriendo : 不是2倍大聲 而是log(2)倍 這也就是分貝定義的由來 01/07 03:01
: 我從沒說過響度啊？
: → recorriendo : 音階會以倍數來定義 因人對音高的perception也同樣 01/07 03:02
: → recorriendo : 遵守類似對數律 事實上不只聽覺 其他感覺也有對數律 01/07 03:03
: 但是人對於調和音的perception很簡單：整數比就是好聽。
:
: 所以一開始在推導音階的時候根本沒有 log_2 出現的餘地，硬丟值進去也只是
: 拿到各種麻煩骯髒的無理數。我想說的只是這個而已。
:
: → recorriendo : 這些對數律在20世紀初引起很多人興趣 他們把它叫 01/07 03:05
: → recorriendo : "心理物理學" 視覺上的韋伯定律就是著名例子 01/07 03:06
響度是指音量，用分貝表示L(dB)=10*log(P1/P0)
我和wohtp回應的是音階，和聲是整數比關係，無指對數關係
人為的十二平均律才有指數關係
以下原文有一大段討論到音樂的部分，我分享管樂的例子
鋼琴音準調整完畢，演奏時理論上不再改變(除了溫度引起些微變化)
管樂器則是隨演奏者嘴唇肌肉鬆緊度，可微調振動頻率
優秀的樂團10支豎笛齊奏，聽起來像是一個人，這是一般業餘團辦不到的
我們在訓練時很強調去"聽"別人的聲音
要隨時微調去製造和聲的效果
有一次畢學富老師帶小號分部，光三個音和聲就修了3個小時
(我們的平均年資超過10年，非初學者)
這應該就是為了要達到頻率整數比的練習
: ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/07/2015 04:31:41
: → recorriendo : 不是好不好聽的問題 400~800,800~1600這兩個頻率差 01/07 07:57
: → recorriendo : 聽起來"距離一樣" 這就是一個對數率 01/07 07:58
如果說成倍數關係，是否就可以解釋了呢?
: → recorriendo : 有關小提琴 專家在同一首曲子裡不同和弦的地方例如 01/07 08:00
: → recorriendo : G降和F升 按的會不一樣 其實彈鋼琴會發現有時候譜裡 01/07 08:02
: → recorriendo : 用G降有時候用F升看起來很怪 其實因為那本來不一樣 01/07 08:04
: → recorriendo : 想到一個更簡單的例子 有時候譜裡寫E升不寫F 不明究 01/07 08:09
: → recorriendo : 裡的人會覺得多此一舉 01/07 08:10
: 推 calvin4 : R大所說的同音異名問題，到了浪漫時期以後已經不是 01/07 15:31
: → calvin4 : 問題了哦。浪漫初期的蕭邦根本還沒遇到德布西等輩， 01/07 15:31
: → calvin4 : 但同音異名記譜根本已經用了一大堆，沒在管樂理。 01/07 15:32
: → bjiyxo : 就現代樂理觀點，E#的原因只有F已經被定義成F#而不 01/07 15:51
: → bjiyxo : 想改動它 01/07 15:51
: → recorriendo : 我說的意思就是現代人看起來根本怪 但之所以如此是 01/08 02:27
: → recorriendo : 其來有自 從小學現代樂裡的人 第一次看到E#一定覺得 01/08 02:28
: → recorriendo : 怪 如果F本來有升那一般人要記原來F音一定自然會寫 01/08 02:31
: → recorriendo : F還原 而不是E升 01/08 02:31
: → hjfreaks : E# B# Fb Cb 在有些調裡面這樣寫才正常吧 01/08 02:58
: → bjiyxo : r大不是這樣的，F#可能在那個小節還有其他個 01/08 03:22
: → bjiyxo : 為了一個F結果改動其他所有的F#這樣大費周章，不如 01/08 03:22
: → bjiyxo : 使用E# 01/08 03:23
: → recorriendo : 一個只看過鋼琴白鍵黑鍵的人不會認為E#是"正常"的 01/08 06:53
: → recorriendo : 會認為E#正常 就代表學過純律 知道它和F是不一樣 01/08 06:54
: 我必須說R大這裡真的搞錯了。
: 現代就算是什麼歐美菁英科班音樂學院的樂理，第一課一定會教circle of fifth對吧？
: 就算第一課不教，第二課也該教到了。而且都講得理所當然，好像這就是上帝的真理。
: 然後任何純律的circle of fifth都關不起來。
: 現代的樂理已經根本上把平均律當成是一切的起點，不僅僅只是用在「離散樂器」上面
: 的方便近似而已。
: ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 15:03:54
: 然後另外補充一下，古人對純律（整數比）不滿意的地方不只轉調，
: 還有五度音程關不起來的問題。
: 複習一下，八度音的頻率比是 1:2 = 2:4。
: 然後我們在正中間插一個音進去，得到 2:3:4，這裡的 2:3 就是完全五度音程。
: 因為 2:3 是 1:2 之後，下一個最簡單的整數比，所以五度音聽起來特別和諧，
: 對音樂也特別重要。
: 所以，我們希望對音階裡面每個音，高出其五度的音都存在於同一個音階裡。
: 然後回頭看看我在上面推導出來的
: 8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13.5 : 15 : 16 : 18 : 20 : 22 ...
: Do Re Mi Fa Sol La Si Do Re Mi Fa ...
: Do (8) 高出五度是 Sol (12)，Sol 再高出五度是 Re (18 --> 9)，看起來一切都很好...
:
: 哎，可是這裡是數學板，我幹嘛把說明限制在小學程度？
:
: 總之我們這裡做的是：
:
: 1. 給定基礎頻率 f_0
:
: 2. 遞迴定義 f_n = (3/2) f_(n-1) if (3/2) f_(n-1) < 2 f_0
: (3/2) f_(n-1) * (1/2) otherwise
:
: 如果乘上 1.5 倍會跑出原來的
: 八度以外，就除以二拉回來
:
: 請讀者自己證明數列 f_n 不會循環。
:
: 也就是說，就連「每個音都有五度音程」這麼卑微的希望，也不是任何頻率的
: 有限集合可以滿足的。
:
: 十二平均律解決這個問題的方法就是：去他的 2:3。
: 新的「完全五度」的比例是 1 : 2^(7/12) = 1 : 1.498...
:
: 放棄乾淨的整數比，接受一點小小的不協調，換取一個關得起來的有限集合音階。
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: ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 17:24:26
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220本身以外的因數有 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110
284本身以外的因數有 1 2 4 71 142
有個奇妙的現象 220=1+2+4+71+142
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
它們互相用自己全部的生命去成全對方
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.121.244.198
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420713538.A.69D.html
※ 編輯: MathWang (122.121.244.198), 01/08/2015 20:19:58
→ recorriendo : 一個八度是2倍 兩個八度是4倍...這是我說的指數關係 01/09 02:40
→ recorriendo : 這不管哪一律都成立 01/09 02:41
→ recorriendo : 不過 沒想到原發問者自己就是這麼專業的演奏者 01/09 02:42
推 bjiyxo : 推音樂經歷，又學到了一些東西 01/09 02:54
→ wohtp : 光是 perfect fifth 和 perfect forth 的 2:3:4 就 01/09 03:24
→ wohtp : 好，要用指數去描述這個關係是自討苦吃... 01/09 03:25
→ wohtp : 然後音階這回事不就是要在兩個八度音之間找到其他聽 01/09 03:29
→ wohtp : 起來和諧的聲調嗎？ 01/09 03:29
→ recorriendo : 音高差一個八度是2倍 道理跟音量差一個貝是10倍一樣 01/11 18:42
→ recorriendo : 純律和平均律的不同只在八度內怎麼劃分 01/11 18:44
→ recorriendo : octave才是基本的概念 octave裡面怎麼分是人為定義 01/11 18:49
→ recorriendo : 甚至只分五個音或六個音都可以 01/11 18:49
推 woieyufan : 樓上你直接用眼睛看好了= = 01/15 13:03
→ woieyufan : 指數律構成的和弦一般尺度下就是比較混亂 01/15 13:09
→ woieyufan : 有稠密性的事本來就是你愛用多少就多少 01/15 13:11
→ woieyufan : 印度不就兩倍間分了22階 01/15 13:11
→ woieyufan : 重點是你要怎麼從2倍共鳴推論到其他倍數的共鳴 01/15 13:12
→ woieyufan : 這跟高中物理算駐波是差不多的 01/15 13:14
→ woieyufan : 你所謂perception的等距離感不是嚴謹的說法 01/15 13:15
→ woieyufan : 而且是適用在旋律、轉調 這些不同時的地方 01/15 13:17
→ woieyufan : 的確每個半音倍數相同了 但也能用其他倍數決定半音 01/15 13:19
→ woieyufan : 差別在於能不能回歸兩倍而已 01/15 13:20
→ woieyufan : 用到不回歸2倍的倍數不代表他不共振 01/15 13:21
→ woieyufan : 純率就是每組不同音度回歸到不同倍數 01/15 13:21