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謝謝wohtp專業回應 我是這串討論的原問 現職是數學老師,也有十餘年管樂團小號經驗(非術科) 回應討論部分內容 ※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言: : 於是終於有人想到了:去他的整數比,直接切成十二等分吧,反正都嘛差不多。 : 令 a = 2^(1/12),以 f 為基礎頻率的七聲大調音階就變成: : f-f*a^2-f*a^4-f*a^5-f*a^7-f*a^9-f*a^11-f*2-... : 要高一個音?簡單,基礎頻率換成 (f*a^2) 就好: : (f*a^2)-(f*a^2)*a^2-(f*a^2)*a^4-(f*a^2)*a^5-... : 每一個調性的每一個音都是 (f*a^n) 這樣的型式,所以轉調不再需要重新調音了! : 我們得到任意轉調的自由,但是原來漂亮的整數比已經不見了。如果有 : 哪個十五世紀或更早的音樂家穿越過來聽到現代音樂,一定會覺得我們的樂 : 器全部都微妙的走調。但是對於現代音樂家,尤其是那些一首歌不轉調七次 : 不過癮的J-Pop作曲家來說,這大概只是小小的犧牲吧。 以上應該就是99課綱數學教授想要連結到指數函數的部分 f(x)=f*a^x, 對應一般的唱名 do,re,mi,fa,sol,la,si x=0, 2, 4, 5, 7, 9,11 再往下設計題目 : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.246.232 : ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420565528.A.D71.html : → recorriendo : 十二平均律是對"鋼琴"(或其他離散的樂器)的轉調方便 01/07 02:56 : → recorriendo : 像提琴這種可以調連續性音高的 還是會要求用純律 01/07 02:57 : 提琴的四條弦的確傳統上會調成整數比,因為聽拍頻調音很方便。但是手指按弦 : 的位置就完全看演奏者高興了。 : 如果不是從小到大科班訓練出身,譜上同一個D#,多少人會去刻意區分提琴跟鋼 : 琴的音高? : → recorriendo : 還有 第一句"音階跟指數本來是毫無關係的"是錯的 01/07 02:58 : → recorriendo : 因為人的perception是遵守一個對數律 01/07 02:59 : → recorriendo : 就拿你的第一點響度來說 聲音的振幅變成2倍 聽起來 01/07 02:59 : → recorriendo : 不是2倍大聲 而是log(2)倍 這也就是分貝定義的由來 01/07 03:01 : 我從沒說過響度啊? : → recorriendo : 音階會以倍數來定義 因人對音高的perception也同樣 01/07 03:02 : → recorriendo : 遵守類似對數律 事實上不只聽覺 其他感覺也有對數律 01/07 03:03 : 但是人對於調和音的perception很簡單:整數比就是好聽。 : : 所以一開始在推導音階的時候根本沒有 log_2 出現的餘地,硬丟值進去也只是 : 拿到各種麻煩骯髒的無理數。我想說的只是這個而已。 : : → recorriendo : 這些對數律在20世紀初引起很多人興趣 他們把它叫 01/07 03:05 : → recorriendo : "心理物理學" 視覺上的韋伯定律就是著名例子 01/07 03:06 響度是指音量,用分貝表示L(dB)=10*log(P1/P0) 我和wohtp回應的是音階,和聲是整數比關係,無指對數關係 人為的十二平均律才有指數關係 以下原文有一大段討論到音樂的部分,我分享管樂的例子 鋼琴音準調整完畢,演奏時理論上不再改變(除了溫度引起些微變化) 管樂器則是隨演奏者嘴唇肌肉鬆緊度,可微調振動頻率 優秀的樂團10支豎笛齊奏,聽起來像是一個人,這是一般業餘團辦不到的 我們在訓練時很強調去"聽"別人的聲音 要隨時微調去製造和聲的效果 有一次畢學富老師帶小號分部,光三個音和聲就修了3個小時 (我們的平均年資超過10年,非初學者) 這應該就是為了要達到頻率整數比的練習 : ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/07/2015 04:31:41 : → recorriendo : 不是好不好聽的問題 400~800,800~1600這兩個頻率差 01/07 07:57 : → recorriendo : 聽起來"距離一樣" 這就是一個對數率 01/07 07:58 如果說成倍數關係,是否就可以解釋了呢? : → recorriendo : 有關小提琴 專家在同一首曲子裡不同和弦的地方例如 01/07 08:00 : → recorriendo : G降和F升 按的會不一樣 其實彈鋼琴會發現有時候譜裡 01/07 08:02 : → recorriendo : 用G降有時候用F升看起來很怪 其實因為那本來不一樣 01/07 08:04 : → recorriendo : 想到一個更簡單的例子 有時候譜裡寫E升不寫F 不明究 01/07 08:09 : → recorriendo : 裡的人會覺得多此一舉 01/07 08:10 : 推 calvin4 : R大所說的同音異名問題,到了浪漫時期以後已經不是 01/07 15:31 : → calvin4 : 問題了哦。浪漫初期的蕭邦根本還沒遇到德布西等輩, 01/07 15:31 : → calvin4 : 但同音異名記譜根本已經用了一大堆,沒在管樂理。 01/07 15:32 : → bjiyxo : 就現代樂理觀點,E#的原因只有F已經被定義成F#而不 01/07 15:51 : → bjiyxo : 想改動它 01/07 15:51 : → recorriendo : 我說的意思就是現代人看起來根本怪 但之所以如此是 01/08 02:27 : → recorriendo : 其來有自 從小學現代樂裡的人 第一次看到E#一定覺得 01/08 02:28 : → recorriendo : 怪 如果F本來有升那一般人要記原來F音一定自然會寫 01/08 02:31 : → recorriendo : F還原 而不是E升 01/08 02:31 : → hjfreaks : E# B# Fb Cb 在有些調裡面這樣寫才正常吧 01/08 02:58 : → bjiyxo : r大不是這樣的,F#可能在那個小節還有其他個 01/08 03:22 : → bjiyxo : 為了一個F結果改動其他所有的F#這樣大費周章,不如 01/08 03:22 : → bjiyxo : 使用E# 01/08 03:23 : → recorriendo : 一個只看過鋼琴白鍵黑鍵的人不會認為E#是"正常"的 01/08 06:53 : → recorriendo : 會認為E#正常 就代表學過純律 知道它和F是不一樣 01/08 06:54 : 我必須說R大這裡真的搞錯了。 : 現代就算是什麼歐美菁英科班音樂學院的樂理,第一課一定會教circle of fifth對吧? : 就算第一課不教,第二課也該教到了。而且都講得理所當然,好像這就是上帝的真理。 : 然後任何純律的circle of fifth都關不起來。 : 現代的樂理已經根本上把平均律當成是一切的起點,不僅僅只是用在「離散樂器」上面 : 的方便近似而已。 : ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 15:03:54 : 然後另外補充一下,古人對純律(整數比)不滿意的地方不只轉調, : 還有五度音程關不起來的問題。 : 複習一下,八度音的頻率比是 1:2 = 2:4。 : 然後我們在正中間插一個音進去,得到 2:3:4,這裡的 2:3 就是完全五度音程。 : 因為 2:3 是 1:2 之後,下一個最簡單的整數比,所以五度音聽起來特別和諧, : 對音樂也特別重要。 : 所以,我們希望對音階裡面每個音,高出其五度的音都存在於同一個音階裡。 : 然後回頭看看我在上面推導出來的 : 8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13.5 : 15 : 16 : 18 : 20 : 22 ... : Do Re Mi Fa Sol La Si Do Re Mi Fa ... : Do (8) 高出五度是 Sol (12),Sol 再高出五度是 Re (18 --> 9),看起來一切都很好... : : 哎,可是這裡是數學板,我幹嘛把說明限制在小學程度? : : 總之我們這裡做的是: : : 1. 給定基礎頻率 f_0 : : 2. 遞迴定義 f_n = (3/2) f_(n-1) if (3/2) f_(n-1) < 2 f_0 : (3/2) f_(n-1) * (1/2) otherwise : : 如果乘上 1.5 倍會跑出原來的 : 八度以外,就除以二拉回來 : : 請讀者自己證明數列 f_n 不會循環。 : : 也就是說,就連「每個音都有五度音程」這麼卑微的希望,也不是任何頻率的 : 有限集合可以滿足的。 : : 十二平均律解決這個問題的方法就是:去他的 2:3。 : 新的「完全五度」的比例是 1 : 2^(7/12) = 1 : 1.498... : : 放棄乾淨的整數比,接受一點小小的不協調,換取一個關得起來的有限集合音階。 : : ※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 17:24:26 -- 220本身以外的因數有 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284本身以外的因數有 1 2 4 71 142 有個奇妙的現象 220=1+2+4+71+142 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 它們互相用自己全部的生命去成全對方 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.121.244.198 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420713538.A.69D.html ※ 編輯: MathWang (122.121.244.198), 01/08/2015 20:19:58
recorriendo : 一個八度是2倍 兩個八度是4倍...這是我說的指數關係 01/09 02:40
recorriendo : 這不管哪一律都成立 01/09 02:41
recorriendo : 不過 沒想到原發問者自己就是這麼專業的演奏者 01/09 02:42
bjiyxo : 推音樂經歷,又學到了一些東西 01/09 02:54
wohtp : 光是 perfect fifth 和 perfect forth 的 2:3:4 就 01/09 03:24
wohtp : 好,要用指數去描述這個關係是自討苦吃... 01/09 03:25
wohtp : 然後音階這回事不就是要在兩個八度音之間找到其他聽 01/09 03:29
wohtp : 起來和諧的聲調嗎? 01/09 03:29
recorriendo : 音高差一個八度是2倍 道理跟音量差一個貝是10倍一樣 01/11 18:42
recorriendo : 純律和平均律的不同只在八度內怎麼劃分 01/11 18:44
recorriendo : octave才是基本的概念 octave裡面怎麼分是人為定義 01/11 18:49
recorriendo : 甚至只分五個音或六個音都可以 01/11 18:49
woieyufan : 樓上你直接用眼睛看好了= = 01/15 13:03
woieyufan : http://x.co/6BzK1 01/15 13:06
woieyufan : 指數律構成的和弦一般尺度下就是比較混亂 01/15 13:09
woieyufan : 有稠密性的事本來就是你愛用多少就多少 01/15 13:11
woieyufan : 印度不就兩倍間分了22階 01/15 13:11
woieyufan : 重點是你要怎麼從2倍共鳴推論到其他倍數的共鳴 01/15 13:12
woieyufan : 這跟高中物理算駐波是差不多的 01/15 13:14
woieyufan : 你所謂perception的等距離感不是嚴謹的說法 01/15 13:15
woieyufan : 而且是適用在旋律、轉調 這些不同時的地方 01/15 13:17
woieyufan : 的確每個半音倍數相同了 但也能用其他倍數決定半音 01/15 13:19
woieyufan : 差別在於能不能回歸兩倍而已 01/15 13:20
woieyufan : 用到不回歸2倍的倍數不代表他不共振 01/15 13:21
woieyufan : 純率就是每組不同音度回歸到不同倍數 01/15 13:21