Re: [機統] 期望值 變異數 搞不太懂

[leica13 (Tri)]

試著回答一下看看。

※ 引述《ding94xu04 (錯誤示範)》之銘言：
麻煩期望值大大&變異數高手了

先來個題目
五黑球三紅球中任選出4球，設x表洪球的個數則E(x)=?
ans:(3/8)*4=3/2

一次取四個球的期望值雖然機率分部不滿足二項分布
但期望值的公式E(x)=np與Var(x)=npq應該也可以成立
也應該與取四次取後不放回的期望值跟變異數相同。

問1:為什麼要強調取後放回的情形才能使用公式

此題取後不放回與取後放回的期望值是相同的

問2:為什麼要強調取後放回的情形(滿足二項分布)才可以使用上述公式?

  上述兩題有版友回應過了。

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1.期望值與變異數隨著測驗次數或者是隨機變數改變的討論
除了E(x)=a,Var(x)=b則E(2x)=2a,Var(2x)=2b
應該是適用於任何機率問題，就取球不放回或取球放回都適用

  E(2X) = 2a 這點沒錯，
  Var(2X) ≠ 2b 而是 4b。


2.若隨著測驗次數改變的期望值與變異數改變
則只可以用於每一次測驗的機率都一樣的情形
也就是說取球取後放回的問題不可以使用

  取後放回   → 兩項式分布
  取後不放回 → 超幾何分布

  這兩個機率分布都會有對應的期望值與變異數公式，
  所以你的推論會有問題。

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請問
問1:上面兩個我自己推出的結論是否正確?

  不完全正確。

問2:第二點每一次測驗的機率都一樣的情形?需要是二一律的情況嗎?(ex有三種不同的錢
數可否使用?)

  這個情況請參考 multinomial dist. (應該叫多項式分布？)

問3:若第二點滿足二一律，且某一個狀態其隨機變數與其取出的狀態次數相同
則取出n次便可以使用E(x)=np與Var(x)=npq?

  以投錢幣為例，如只投一次，不是正就是反：

   → 白努力試驗 (Bernoulli trial), E(X) = p, Var(X) = pq

  若投同樣錢幣 n 次：

   → 二項式分布, E(X) = np, Var(X) = npq

問4:問3中如果我改變隨機變數變成k倍，E(kx)=knp與Var(kx)=knpq這樣對嗎?

   E(kX) = knp,
   Var(kX) = k^2 * npq

問5:若要使用白努力公式，必須滿足二一律機率分布空間不變以及某一個狀態的隨機變數
必須是零，如同失敗機率的隨機變數是為零一樣，而另外一個隨機變數則可帶入E(x)=np
與Var(x)=npq
出來後再對於我們對於隨機變數的改變進行修正E(kx)=knp與Var(kx)=knpq，這樣觀念是
否正確?

  白努力試驗的定義就是非 a 即 b 才能適用。

  Var(kx) = Σ E[ (kX)^2 ] - [ E(kX) ]^2

          = Σ k^2 E[X^2] - k^2 [E(X)]^2

          = k^2 { Σ E[X^2] - [E(X)]^2 }

          = k^2 npq
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推 ding94xu04  : 謝謝大大特地回一篇Q_Q