Re: [中學] 兩題極值

[thr3ee (亞澤蛙 妮可)]

高二空間向量有一道難題如下
A:=(1,1), B:=(3,5), P:=在直線2x-y=4上的任一點, 求PA長+PB長的最小值?

高二生的方法是"利用向量在空間中轉, 產生共線"的方式
當時我預習到這題時, 因為不知道這個技巧, 所以就自己想了一套方法如下

PA長+PB長 = √[ (x-1)^2+(y-1)^2 ]+√[ (x-3)^2+(y-5)^2 ]
因為當時只學過算幾不等式
就猜最小值成立於等號成立時
則(x-1)^2 - (x-3)^2 + (y-1)^2 - (y-5)^2 = 0
與2x-y=4的直線聯立
可得一點(x,y)=(3.5,3)
帶入以後剛剛好是這題正解!!!

但是之後再用這招就吃鱉了......
因為這個矛盾有點複雜, 當時又還沒學過橢圓來圖解
後來折騰了一下, 帶入點以後才發現
如同我在原篇所說

我的方法:求出一解(a,b), 帶入後得值為5, 算幾不等式右側為5(等號成立)
轉的方法:求出一解(c,d), 帶入後得值為2, 算幾不等式右側為1(等號不成立)

因為右側不固定, 所以等號成立不代表什麼 因此相當不建議操作這種不等式
結論: 算幾柯西有兩條禁忌(1)一側最好是常數 (2)注意等號成立時是否有解

原篇是剛好兩個禁忌都踩到, 所以看不出來比較深入的(1)點錯誤

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※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 14:25:26
→ wayn2008    : 更正 前頭應該是平面向量。
      謝指正, 原來這題是平面向量的, 難怪剛剛翻書沒找到這題
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 16:35:41
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 16:37:43
→ Desperato   : 我覺得兩邊都不是常數是沒問題的
→ Desperato   : 只是就跟最大最小值無關了
換言之, 不等式的關係是正確的, 但是拿來求最大最小值可能會出錯
推 LPH66       : 柯西是也有像 #1H7SnnWI 這樣的特殊做法
→ LPH66       : 不過那也是那題的特殊性才能那樣做
說到底, "注意等號成立時是否有解"就可避開這個常數的問題
你舉的這題是剛好兩個等號同時成立, 湊齊不等式後還需要檢查才能確定正確

補: 話說回來, 你這題還幫不等式一側找範圍, 可以算是廣義的常數
(至少於不等式等號成立時, 運氣夠好, 一端 = 他的最小值 = 一個常數)
而我的作法算是無地放矢, 直接亂套算幾, 也不幫兩側再多找範圍
因此完全無法判斷算出來的值是不是最大最小值, 因此"(1)一側要有常數"仍是重要的

→ wayn2008    : 沒問題的 只是不一定會有最大最小值 這原原PO是懂的
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 19:36:27
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 20:00:31
→ Desperato   : 如果要拿柯西算極值 有常數當然很好XD
反過來嚴格說
不等式一側(a)是常數 (b)成功找出可配合等號的範圍
才能使用柯西算幾來求極值
其他情況都只能碰運氣(也無法驗證是否猜對)
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 22:20:55