Re: [代數] quotient ring的乘法check

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《transt (transt)》之銘言：
: 標題: [代數] quotient ring的乘法check
: 時間: Thu Jul  7 16:22:35 2016
:
: Given a ring R, an ideal A of R, given r,s∈R
: 請問要怎麼check (r+A)(s+A) = rs+A ?
: (r+A)(s+A) = rs+rA+As+AA ⊆ rs+A+A+A = rs+A
: 請問另一邊要怎麼做？
: 懇請各位高手幫解惑，感謝
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: → kerwinhui   : Hint: the set of cosets forms a partition         07/07 18:58
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: 你是想說 if a+A=b+A, c+A=d+A then ac+A=bd+A 嗎？
:
: 我是想問怎麼做 (r+A)(s+A) ⊇ rs+A ?
: ※ 編輯: transt (1.163.247.69), 07/08/2016 14:55:00

首先，你心中所想的那個東西是「不成立」的。


考慮一個稍微大一點的 abelian group R，賦予它 trivial multiplication：乘積=0

rs+rA+As+AA = {0}+{0}+{0}+{0} = {0} 通常都不是 0+A


其實就連整數環 Z 都沒辦法滿足你，因為 (0+2Z)^2 = 4Z != 0+2Z


所以，問題是在於你怎麼定義 (r+A)(s+A)

一般書上都是直接定義成：(r+A)(s+A) = rs+A

然後檢查是否 well-defined，而不是 element-wise define

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推 transt      : 驚！原來是強制定義啊
→ transt      : Z這個簡單的例子都沒想到 我好蠢
→ transt      : 原本以為 quotient group OK 那 quotient ring
→ transt      :  應該也可以，看來是我太天真了，雖然
→ transt      : 不是element-wise definition給人感覺有點怪
→ transt      :
→ transt      : 非常感謝你的答覆！
→ Vulpix      : 因為只在意rs在不在A裡面啊。