作者TassTW (塔矢)
看板Math
標題Re: [機統] 悖論 無限大的桶子 跟 無限多顆球
時間Thu Sep 22 21:16:51 2016
這個問題有不同的切入點,
其中一個是我們使用的語言不夠精確,
導致我們不能用語言區分 limsup |E_n| 和 |limsup E_n|
※ 引述《AppleOuO (AppleOuO)》之銘言：
: 假設有一個無限大的桶子跟無限多的球 並且取放球所需時間為0
: 時間從早上11點到12點 每剩1/2時間 就依序放有編號的球並取回最前面編號的球
: 例如11點半為第一次放10顆球(有編號到1到10) 並且把第一顆球給取走
我們建模一開始的桶子裝 1 到 10 號球
E_1 = {1,2, ..., 10}
第一次取球後, 桶子裡裝 2 到 20 號球
E_2 = {2,3, ..., 20}
.
.
.
以此類推
E_j = {j, ...., 10j}
.
.
: 那在12點時 我說桶子裡沒有球
: 因為球都被取走了
: 例如：編號五的球，它第五次就被取走了。
你認為 12 點時的桶子可以用 limsup E_n 表示:
limsup E_n = ∩ ∪ E_j = ∩ Z_{n≧ j} = 空集合
n>0 j≧n n>0
因此 |limsup En| = 0, 所以這個桶子內沒有球
: 當然老師也有舉 裡面是無限多顆球 因為每次都多9顆 所以無限多顆
你老師沒有明說 "12點的桶子" 到底是什麼,
但他認為 12 點的桶子內的球數等於 limsup |E_n| = lim 9n+1 = 無限大
結論:
1) 真的要計較的話, "12點的桶子" 其實是沒有定義的,
我們沒有任何理由指稱他是任何東西
2) 如果訴諸物理 (例: 12點一到往裡面看就好啦), 那問題會出現在你假設了違反
物理的前提 (取放球時間為 0 ...etc)
3) 這個謬論的數學層面, 是因為我們直覺為以為
|limsup En| = limsup |En|
但是這個故事反而構造了一個反例.
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細雪紛然，悄落無聲├╯ . . . ╰═╮╭
│衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧ .‥ ．
．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯
│我心啊！請白潔勝雪║ ． , ˙ ‧.
． . 曾經底光華已為陳蹟
║請無垢無瑕 │ 然我心啊，如磐石無轉
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╴╴╴╴╴仍燁然如昔 ψTassTW
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推 arthurduh1 : 原文的句子主詞有點雜亂，不過我推敲老師的論點是 09/22 21:25
→ arthurduh1 : |limsup E_n|，原 PO 才是 limsup |E_n| 啦XD 09/22 21:27
推 ERT312 : 其實我很好奇 limsup |E_n| 的12點桶子長什麼樣? 09/22 21:41
→ Desperato : 覺得這篇說到重點了（到底是什麼東西矛盾 09/22 21:49
推 Desperato : 補推 09/22 21:51
推 ERT312 : 如果沒辦法描述 limsup |E_n| 的12點桶子 09/22 22:03
→ ERT312 : 那用limsup|En|來代表12點桶內的球數就沒什麼意義了 09/22 22:04
→ Desperato : 不會啊 因為limsum |E_n| 本來就不會是12點桶子的 09/22 22:07
→ Desperato : 樣子 而是逼近12點時的極限值 09/22 22:09
推 arthurduh1 : ERT說的就是結論第一點呀 09/22 22:38
→ arthurduh1 : 但我們現在硬是要算的時候，才會想要用什麼去算 09/22 22:39
→ arthurduh1 : 也可以說結論第二點，總之我們沒辦法知道，都是 09/22 22:41
→ arthurduh1 : 想像、建構模型而來的，這些模型會有各自算法 09/22 22:42
→ suhorng : 就記得 Tass 大在 N 久以前有回過一篇這個的XD 09/23 09:14