[分析] 有關measurable sets的問題

[Poincare (龐加萊)]

各位大大好，想請教一個有關measurable sets的問題。

Given a measurable set A in R, with |A| > 0, then show that:

there exists σ > 0 such that for all positive ε < σ, |(A + ε) ∩ A| ≠ 0,

where (A + ε) = {x + ε|x is in A}.

目前我的想法是，因為measurable sets可以用G_δ sets來逼近，所以如果證明對於G_δ

sets是對的話，應該就做完了。

問題是我弄不出來>< >< 請求各方高人指教><

謝謝~

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                         --殺老師

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.211.228
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1478441867.A.B80.html
推 jeffliao1   : 你的epsilon是作什麼用的？
推 DC40        : A+sigma應該都改成A+epsilon?
推 jeffliao1   : 這好像和A-A中有一個0的 neighborhood 是一樣的對吧
→ jeffliao1   : ？ Steinhous 定理？
沒錯筆誤，是ε沒錯~ 我來查一下~
※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 07:11:01
→ b02209012   : 等價地，你需要去考慮：當\sigma趨近於0時，|(A+\si
→ b02209012   : gma)-A|是否也趨近於零
→ b02209012   : 這件事情不妨先去考慮 A is of finite measure的情
→ b02209012   : 況
推 b02209012   : 然後你會發現又可以簡化到open set with finite mea
→ b02209012   : sure 的情況
推 b02209012   : 所以一部分的問題已經完成了，那一般measurable set
→ b02209012   : 的方面，你知道可以用半徑是正整數的球，把狀況簡
→ b02209012   : 化成finite measure
→ kerwinhui   : 參考我在本版 #1O6rw2cl 的推文
請問b大 為什麼考慮這個是和原本的等價阿>< 他如果怎麼樣都不會有交集不是不管怎麼
樣都是0嗎?
※ 編輯: Poincare (140.112.51.123), 11/07/2016 14:46:28
請問k大 為什麼可以用finitely many open balls去逼近那個set阿 不是只能用
countably many 多個嗎(G_δ sets)?
※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 15:11:34
→ kerwinhui   : 因為 m(A)=inf{m(O): O open, O supset A}
→ kerwinhui   : 然後 O 由 finitely many open balls 逼近
喔喔 好有道理>< 原來可以這樣想~
謝謝幾位大大幫忙~
※ 編輯: Poincare (140.112.211.228), 11/07/2016 15:23:54
推 b02209012   : 題外話，之前的習題近期就會檢討了，請同學不要著
→ b02209012   : 急
→ Poincare    : 樓上該不會也有修測度論吧xD 題外話 我沒有修ww
推 RicciCurvatu: 不妨考慮bounded，measure finit的A，根據定義你可
→ RicciCurvatu: 以找一組有限inteval蓋住A讓A的測度比這些inteval的
→ RicciCurvatu: 4/5還多，根據鴿籠原理，從這些inteval中挑出一個A
→ RicciCurvatu: 與它交集後測度比它3/4還大的，我們稱這個交集為B,
→ RicciCurvatu: 現在假設結論為否，我們找的到一個比這個inteval1/4
→ RicciCurvatu: 還小的數e使B+e與B交集為空，這兩個集合聯集起來的
→ RicciCurvatu: 測度應為B的兩倍,超過原inteval的6/4,但確只落在5/4
→ RicciCurvatu: 大小的inteval內，故證否