Re: [微積] 請簡介differential forms與manifolds

[j0958322080 (Tidus)]

※ 引述《Arzelascoli ()》之銘言：
: Math版版友您好，假設小弟已充分涉獵過基本的大一單變數與多變數微積分
: 請教版友們，是否能深入淺出地簡介:
: * 什麼是differential forms與manifolds? 它們在微積分或高微分析是如何被運用?
: 另: 小弟擁有的微積分教科書似乎未教導differential forms與manifolds
:     如果希望深入淺出地學習這學問，那些教材書籍值得推薦?
: 註: Baby Rudin第10章有教differential forms
:     小弟有涉獵過Baby Rudin前面幾章，但聽說後面包含第10章寫得太抽象
:     所以還是再請教有深入淺出的教材書籍嗎?
就我這學期修的微分幾何來回答跟我的理解來回答，希望可以拋磚引玉：

manifolds : Something "locally" looks like R^n + some "global" condition

一開始的微分幾何會從 manifold 進入，原因是因為我們想要在他上面做微積分，

當我們取一小個部分來看的話，他可以近似成我們已經學習很久的歐式空間。
                            ∂                ^                     ^
所以在微分幾何中，你會看到 ---- 當作基底(記做dx_i)，而不是常看到的 x_i。
                           ∂x_i
那當你在這個 manifold 上面取他的基底的時候會有很多種取法，

所以在取的時候他就是一個 "form"，例如我們在 S^1 上面取他的切向量，

那麼他的基底就是 f(x_i)dx_i + f(y_i)dy_i

在不同的位置取切向量會得到不同的基底，此時基底前面的東西我們叫做0-form，

也就是我們之前學到的"function"，當這個 function 搭配上一個基底的時候，

我們就稱他為 1-form，也就是我們之前學到的"vector field"，

如果是 function 當配上 k 的基底，我們就稱為 k-form，

所以如果是 2-form 的話就寫成f(x_i)dx_i ^ dy_i, "^" 是"wedge product"，

或稱為"exterior product"，有點類似我們之前所學的"cross product"，

但是又有點不一樣，因為是在很噁心的空間上做外積。

講了這麼多，終於可以在這些很噁心的空間上做積分了，

我的上學期就這麼結束了，麻煩樓下幫補。

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→ yeebon: chx64的1/2悖論真的很經典呢
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※ 編輯: j0958322080 (140.115.31.172), 01/03/2017 11:34:12
推 LiamIssac   : 這部分有沒有簡單的應用或例子？ 像一般的積分可以
→ LiamIssac   : 用來算面積之類的
→ j0958322080 : Stokes' theory
→ wohtp       : differential form的重點倒不是拿來算東西
→ wohtp       : 因為微積分離不開數字，但是要怎麼把空間上每一點編
→ wohtp       : 上座標，這件事根本完全看你開心就好
→ wohtp       : 所以明明是同一樣東西，卻會因為座標的取法不同而看
→ wohtp       : 起來完全不同。
→ wohtp       : differential form與相關語言是一套漂亮的架構，幫
→ wohtp       : 助你講清楚，什麼是「本質」，什麼是因為你選定了特
→ wohtp       : 定座標系統而產生的表象
→ wohtp       : 但是真的要算積分……最後你還是要乖乖選一個座標，
→ wohtp       : 乖乖用老方法做多重積分
→ j0958322080 : 不過我的理解是說我們要在這上面做微積分才有這東西
推 LiamIssac   : 我的想法是 這東西應該是為了某種應用的目的 (原本
→ LiamIssac   : 的Euclidean calculus無法用)而產生的 如果不是 那
→ LiamIssac   : 也太抽象了
→ wohtp       : 的確只是把本來的微積分抽象化，將幾何與拓樸的本質
→ wohtp       : 表現出來而已
→ wohtp       : 真的要微分積分，還是要乖乖取coordinate patch，
→ wohtp       : 乖乖做沒有技術含量的重積分。
→ wohtp       : 它的「應用」就是把座標系統搞掉以後，比較容易把
→ wohtp       : coordinate-independent的概念寫明白
推 LiamIssac   : 我看了一下網路 好像應用在數論等領域 之前看Terenc
→ LiamIssac   : e Tao那些人在證明數論等都有用積分形式 估計就是這
→ LiamIssac   : 些東西？
→ wohtp       : 拿來看topological invariance很好用
→ wohtp       : 例如只要看到Chern-Simons規範場的形式，不用算就馬
→ wohtp       : 上知道積分出來只能跟底下空間的topology有關
→ wohtp       : 不過，再說一次，那些漂亮的式子不是拿來給你真的做
→ wohtp       : 積分用的