[分析] {ma+n,a無理}dense問題

[znmkhxrw (QQ)]

好久以前問過 任給一個無理數a

S:={ma+n:m,n€Z} is dense in R

當時認為如果能證出 S is dense at 0 那就能仿造一樣方法證出 dense at all x€R

之後W大在 #1GwxBOGi (Math) 這篇利用Cauchy seqeunce去證出 S is dense at 0

但我今天試了一段時間，這個證dense at 0 的方法似乎不能證dense at x=/=0

然後嘗試用dense at 0當已知去輔助證明 dense at all x=/=0 也無法


google一堆作法 要馬直接證"S is dense at all x€R" ---(1)

               要馬就是只證"S is dense at 0" ---(2)
               (某篇是用inf(S交集R^+)去證的 這個方法我也試過能不能改良成
                給all x€R 也失敗)

所以真的有(2)就可以很快速的推得(1)??

如果真的可以想請教怎麼推的

如果不能的話，試問怎麼改良 dense at 0 的證明讓他可以適用all x€R

謝謝

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推 zombiea     : 給定e > 0, x in R,  因dense at 0, 可找到y in S,
→ zombiea     :  0 < y < e. 對於y, 存在m, m+1 in Z, 使得 my < x
→ zombiea     :  < (m+1)y, 且 my, (m+1)y in S. 就找到S裡離x 小
→ zombiea     : 於e 的元素
→ znmkhxrw    : 大感謝!!! 原來key point在這裡QQQQQQQQQ