※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 標題: [中學] 有關期望值
: 時間: Sun Apr 2 13:31:03 2017
: (雖是中學數學題，但不排除使用微積分)
: 一題多選題如下：
: 職業棒球季後賽第一輪採五戰三勝制，當參賽甲﹑乙兩隊中有一隊贏得三場比賽時，就由
: 該隊晉級而賽事結束﹒每場比賽皆須分出勝負，且每場比賽的勝負皆不受之前已賽結果影
: 響﹒假設甲隊在任一場贏球的機率為定值 p，以 f(p) 表實際比賽場數的期望值
: （其中 0 ≦ p ≦ 1 ），請
: 選出正確的選項﹕
: (1)只須比賽3場就產生晉級球隊的機率為 p^3 (2) f(p) 是 p 的 5 次多項式
: (3) f(p) 的常數項等於3 (4)函數 f(p) 在 p = 1/2 時有最大值 (5) f(1/4)<f(4/5)
:
: 請問上面第 (4)、(5) 選項，有沒有什麼比較快的判斷方法，
: 我可求出 f(p) ，第 (4) 選項除了用微分求極外是否有其它方法？
: 第 (5) 除直接代入 f(p) 算外，是否有其它方法？
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: 推 itsweb : 不分上下的時候 比賽場次期望值會比較大 04/02 13:52
: → itsweb : 所以越接近1/2 f(p)越大 而且對稱 04/02 13:53
: → hau : 我用GGB畫函數圖形可看出，但如果要證明樓上所說的 04/02 14:48
: → hau : 是否有較嚴謹的證明(除用微分求極值硬算外) 04/02 14:49
原式
3(p^3+(1-p)^3) + 4(3*p^3(1-p)+3*p(1-p)^3) + 5(6*p^3(1-p)^2+6*p^2(1-p)^3)
= 6p^4 - 12p^3 + 3p^2 + 3p + 3
= 6*(p-1/2)^4 - 6*(p-1/2)^2 + 33/8
= 6 [ (p-1/2)^2 - 1/2 ] ^2 + 21/8
所以函數會以 1/2 成對稱，且在 0≦p≦1 之間，是 p = 1/2 最大，往兩側遞減
過了 1/2 ±√2/2 才會開始遞增，但那兩個點已經不是0≦p≦1
附帶一提，這題是103數甲的多選
以時間上來說個人覺得展開來再微分在考試當下很難去完成，必須結合itsweb大寫的
"不分上下的時候 比賽場次期望值會比較大" 才能迅速回答選項(4)(5)
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