Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《ERT312 (312)》之銘言：
: 標題: Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p
: 時間: Fri Apr 20 00:39:50 2018
:
: ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: : 所以，我的問題是：
: : 在嚴格的公設以及邏輯下，是否要強制要求上面的A,B是ZF集合，我才能說
: : V:= {y€B│存在x€A使得f(x)=y} 存在 by specification
: : 若否，V有沒有存在都不一定呢!?
: V的意思是這樣沒錯
: 但因為每次都要這樣寫一次很煩
: 所以就簡寫成V:= {f(x)│x€A}
: 集合論裡面把函數定義成某三個集合的有序列<f,A,B>
: 並滿足
: 1.f是A×B的子集
: 2.for all x belongs to A, there exists y in B, such that (x,y) belongs to f
: 3.If (x,y1) and (x,y2) are both in f,then y1=y2
: 習慣上我們把<f,A,B>記為 f:A→B
: 寫成<f,A,B>只是要強調集合論真的可以討論函數
: 就像把ordered pair (a,b)寫成{{a},{a,b}}依樣
: 而y=f(x)則是(x,y) belongs to f的簡寫
: 之所以可以這樣寫是因為上面第3點,y唯一
: 最後就乾脆把值域寫成V:= {f(x)│x€A}
:
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: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1524155993.A.2FF.html

謝謝E大回答~關於你寫的有三點我想討論:

(1) 以公設角度來看，我會覺得V:= {f(x)│x€A}不嚴謹並不是因為你的第3點

    你第3點應該就是一般函數定義的well-defined，而今天就算函數well-defined

    V:= {f(x)│x€A} 也不一定存在，因為沒人確保它存在

    雖然這V很直觀，就是把每個x丟入f，產生出f(x)就丟進這集合

    即是 "收集所有函數值的集合" 但是羅素悖論就是直觀的敘述卻導致矛盾

    我才會有 "除非是{f(a_1),...f(a_n)}這種明顯寫出的 or 分類公理確保的"

    否則我都不會100%保證我寫的出來就一定存在

(2) 你把一般函數全部都轉成(等價)集合形式太棒拉！

    所以我可以說 當任給f：A→B時，其實A,B就自然是ZF集合了？

    接著 <f,A,B> 就是你構造的那樣


(3)

最後，其實我最想要的結果是：

從我學數學以來遇到的集合都是ZF集合(或是等價)，都滿足ZF公設

那這樣我就滿足了...只是這句話應該只有...99%對?

L大提的 von Neumann–Bernays–Gödel set theory好像有更廣分類XD



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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1524160017.A.867.html
→ recorriendo : (1)"f是ZF函數 => f值域存在"  Axiom schema of
→ recorriendo : replacement就直接確保了 (事實上是不用replacement
→ recorriendo : 也可以證明 並且Axiom schema of replacement的適用
→ recorriendo : 性也比ZF-函數廣)
→ recorriendo : (2)ZF集合論就是個一階∈-語言上的公理理論 你要在
→ recorriendo : 這個語言裡定義函數當然定義裡提到的都是集合  當然
→ recorriendo : 在一些情況會討論meta-language裡定義的函數 搞混的
→ recorriendo : 話就會出現Skolem paradox之類的悖論
好多沒看過的敘述@@ 我其實沒完整的學過集合論
查資料後應該可以知道你說什麼XD

→ recorriendo : (3)你學過的數學有超出Bourbaki嗎
應該沒有 沒聽過的名詞 google了一下完全沒印象

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這樣聽起來ZF還是規範比較多(條件比較強)的公設耶!?
※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 04/22/2018 02:21:09