Re: [中學] 關於無理數和0.999..的疑問

[ThePeaceMan (TPM)]

        小弟感謝版上有許多大神願意為我解釋這個問題，每篇回文我都認真看過了，

現在小弟再總結一下，看是否理解的正確。


        第一，無限小的定義是給定一正實數x，若|a|<x恆成立，則a為無限小，而在實

數系中只有0符合這個定義。但在不同的系統中可能會有不同的解釋，像有些是把無限小

當作一個序列在運算，雖然最後求得的極限皆為0，但收縮的速度會有差異。而非標準分

析和超實數中無限小的定義也略有不同，內容太深奧，小弟就不詳述了~


        第二，一個序列的極限可能和序列中任意有限項的性質截然不同，像{1, 0.1,

0.01, 0.001, ...}這個序列各個有限項皆為正數，但這個序列的極限為0，而小弟在原

文中的問題，誤區在於認為極限具有封閉性:0.999...代表的是{1-1, 1-0.1, 1-0.01,

1-0.001, ...}這個序列的極限，而極限的意義在於這個數列所趨向的數字，0.999...

代表的是此數列的極限，故為1；小弟在原文中所取的m與n，實際上代表的是兩個向根號2

嚴格遞增和遞減的序列極限，故m與n為根號2，就算這兩個序列各個有限項皆為有理數，也

不代表極限為有理數。


        第三，關於回文中有人提到小學的圓周率是否為定值需要用到極限的概念，小弟

認為太費工了，事實上圓周率就是圓的周長和其直徑的比率，在不同的縮放倍率，圓就有

不同的大小，但周長與直徑比率不變，顯知圓周率為定值，但求值的確需要用到極限的概

念就是了，但我還是感謝您的看法與指教。


        從小學到高中，我的數學老師都算是認真盡責的，而台灣的數學教育，小弟認為

雖然不能面面俱到，但也算是不錯。有些人有很崇高的理想，希望教學時能使學生們知道

一些定理的來龍去脈，但我覺得這雖然是很好的想法，但也要考慮到學生們的程度以及意

願，以及課堂是否有充裕的時間，有些學生就是學習意願低落，你和他講解許多，他不但

聽不懂，而且還會覺得你在拖課，這也是教師們的窘境...(一點感想，可無視)


        以上是小弟所理解的，若有謬誤請指正，再次感謝各位先前的指教!


        補：請問若x<6，則x的最大值要如何表示，它算是實數嗎?

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→ Ricestone   : 第一點裡面，如果只考慮從前面建構出的實數系
→ Ricestone   : 是沒有無限小存在，那個定義算是把概念寫出來而已
→ Ricestone   : 必須要延伸出來，才能夠再研究下去，也就是數列等等
→ Ricestone   : 譬如說x趨近於0時，是0，x^2趨近於0時，也是0
→ Ricestone   : 如果只考慮實數系，我們沒辦法去做x/x^2的比較
→ Ricestone   : 這是因為這一步的時候，已經讓分子跟分母為0了
→ Ricestone   : 要注意，當我們做約分的時候，是假設約的東西不為0
→ Ricestone   : 所以如果x是0的話，我們不可以去約分變成1/x
→ Ricestone   : 所以我們必須接受有個東西不是0，才能研究下去
→ Ricestone   : 上面都是在講趨近於0的時候，不過應該不會誤會吧
推 annboy      : 能說成m,n這兩個數列的極限都"是"根號2，是在實數
→ annboy      : 已經"建構"完之後的事情；在沒有建構實數之前，
→ annboy      : 甚至連"極限"能否"定義"都是問題
→ annboy      : 因此實數的建構，是很早就要完成的一件事
→ annboy      : 雖然日常生活、更甚至國中數學，會默認實數
→ annboy      : 但把實數"說清楚"，是一個最重要的開始
→ annboy      : 另外誠心建議，對數學有興趣的話，利用課餘自修
→ annboy      : 線性代數，會對高中甚至大學數學必修課都很有幫助
→ Ricestone   : 我是覺得國中只是接受有數線(雖然隱含實數)，但課程
→ Ricestone   : 上跟完全認識實數關係是不大啦，能理解√2就對角線
→ Ricestone   : ，而可以畫在數線上，其實也就夠了
→ Ricestone   : 但到了極限，就有必要理解實數 不過這是高三的事了
→ Ricestone   : 高一的話算是加強邏輯訓練，所以要會證無理數
→ Ricestone   : 老師額外證明0.999..=1，應該也是為了補強他們之前
→ Ricestone   : 證明過少的問題吧
推 arthurduh1  : 關於第三點, 周長的定義其實需要用到極限. 這和
→ arthurduh1  : 根號 2 其實很類似, 直觀中好像不會有問題, 但
→ arthurduh1  : 要嚴格地處理其實並不是那麼簡單.
→ arthurduh1  : 比如有類悖論就是利用對於長度錯誤的直觀, 製造出
→ arthurduh1  : 2 = 根號 2 或 4 = pi 之類的錯誤結論.
推 Desperato   : 國高中數學大多都是先有個大致概念
→ Desperato   : 之後再想辦法嚴格證明
→ Desperato   : 而且很多東西的嚴格證明或定義 比想像中的麻煩
推 Desperato   : ex: 自然數加法乘法有交換律結合律分配律
→ Desperato   : 國小的時候基本上當成觀察而來
→ Desperato   : 或是實際化為長度/面積/數量比對
→ Desperato   : 而皮亞諾公設只用了5條 就能定義所有自然數
→ Desperato   : 外加一堆和自然數相關的定律
推 Desperato   : 整數 有理數 實數 函數 指對數 都有嚴謹的定義
→ Desperato   : 以這點來說 先知道大概和運作模式 再回頭嚴格定義
→ Desperato   : 其實不會有很大的問題 畢竟多數人的數學是會用就好
→ Desperato   : 只有需要更進一步的時候 嚴格定義的好處才會出來
推 Vulpix      : 其實先學會嚴格地計算比較重要。高中有些題目的詳解
推 Vulpix      : 並不詳盡，例如#1Rr7Zcn8這篇文章。你一開始提問的
→ Vulpix      : 時候，問題是不清晰的，而你的盲點其實都被那個不清
→ Vulpix      : 晰的語言掩蓋住了，所以你根本發現不了。數學上不太
→ Vulpix      : 容易出現滑坡等邏輯謬誤，但是倒因為果、抽換概念這
→ Vulpix      : 些可是很常見的(當然是說學習的過程中)。
→ Vulpix      : 應該說，嚴格地「敘述問題」與「推理」。
推 Desperato   : 詳解不詳盡是寫詳解人的問題 他不是學生不該犯這種
→ Desperato   : 錯 出了一個詳解很難寫的題目也有些問題 因為學生
→ Desperato   : 通常寫不出來
※ 編輯: ThePeaceMan (114.45.62.49), 11/11/2018 10:45:35
→ Ricestone   : 問得很好，它沒有最大值。但有最小上界，也就是6
→ Ricestone   : 既然不存在，那就不是實數了
→ Ricestone   : 在這裡可以看到最小上界不一定屬於原集合的例子
→ Ricestone   : 或許該說，就是為了這種狀況，才定義最小上界
→ ThePeaceMan : 感謝解說，小弟了解了!
→ arthurduh1  : 如果寫不出一個實際的形式, 其實不會問它是不是實數
→ arthurduh1  : 這裡比較適當的說法是在實數中不存在
→ Ricestone   : 的確，不過我認為他現階段能理解為了處理無限小，有
→ Ricestone   : 各種不同的方式面對也就夠了
→ Ricestone   : 也就是微積分的初步講法