推 annboy : 推 11/24 22:18
→ Lanjaja : 其實我之前有看到D大給的連結 但是覺得有點拼拼湊湊 11/24 23:22
推 Lanjaja : 先謝謝D大 等一下一步一步照著您的試試看 11/24 23:27
→ Desperato : 根據wiki 其實最自然的做法是生成函數 但那樣就用 11/24 23:52
→ Desperato : 不到explicit formula了 11/24 23:52
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 標題: [微積] Legendre polynomail遞迴式證明
: 時間: Fri Nov 23 15:24:30 2018
:
: 想請板上高手幫忙想一下，
:
: 如何從Rodrigue's formula P_n = (1/(2^n n!))(d/dx)^n (x^2 - 1)^n
:
: 證明以下遞迴式：
:
: (n+1)P_(n+1) = (2n+1)xP_n - nP_(n-1)
:
: 想了好多天都作不出來，
:
: 懇請幫幫忙，
:
: 萬分感謝～
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: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1542957873.A.35A.html
: → Lanjaja : 希望能由定義從(n+1)P_(n+1)直接推到右式 11/23 15:45
: 推 Desperato : 試試 general leibniz rule 11/23 20:54
: → Vulpix : 展開看係數。 11/23 21:12
: 推 Desperato : 係數也太暴力了 不過可行 11/23 21:24
: → Vulpix : 不想透過ODE或生成函數去做，就展開啊。 11/23 21:27
: 推 RicciCurvatu: 兩邊再微分一次=0 ,故為常數，然後 P_n(1)=1 for al 11/24 10:58
: → RicciCurvatu: l n 帶回原式仍為0 故原式為0 11/24 10:58
: → Lanjaja : 我有用萊布尼茲 但是最後就會產生微分次數和x^2-1的 11/24 12:05
: → Lanjaja : 次方不同的項 無法化掉 就卡住了 11/24 12:05
: → Lanjaja : 我希望的是建構式的證明 不是已經知道關係式才驗證 11/24 12:06
https://goo.gl/xhxzHn
其實網路上有答案ow o
不過這是我硬幹 4 小時卻完全做不出來之後了，只好抄答案了qw q
令 D = d/dx = D, y = x^2-1
關鍵是要把遞迴式中的 x 塞進微分裡面
(Lemma) Let f = f(x) be smooth.
Then D^n (x f) = x D^n f + n D^(n-1) f
Hence x D^n f = D^n (x f) - n D^(n-1) f
(pf) Using general Leibniz rule.
p.s. 原文是使用 commutator, [D, x] = 1 and [D^n, x] = n D^(n-1)
所以就有 x D^n f = D^n (x f) - n D^(n-1) f
原式 (n+1) P_(n+1) = (2n+1) x P_n - n P_(n-1)
整式同乘 1/(2^(n+1) n!) 可得
D^(n+1) y^(n+1) = 2(2n+1) x D^n y^n - 4 n^2 D^(n-1) y^(n-1)
注意到中間那項 x D^n y^n = D^n (x y^n) - n D^(n-1) y^n
因此可以計算
LHS - RHS
= D^(n-1) [ D^2 y^(n+1) - 2(2n+1)D(x y^n) + 2(2n+1)n y^n + 4n^2 y^(n-1)]
= D^(n-1) [ 2(n+1) y^n + 4n(n+1)x^2 y^(n-1)
- 2(2n+1)y^n - 4n(2n+1)x^2 y^(n-1) + 2n(2n+1) y^n + 4n^2 y^(n-1) ]
= D^(n-1) { y^(n-1) [ 2(n+1)y - 4n^2 x^2 - 2(2n+1)y + 2n(2n+1)y + 4n^2 ] }
= D^(n-1) { y^(n-1) [ 0 ] } = 0
從上面計算可以看出，想直接從 LHS 推到 RHS 會非常有技術性...
至少我是寫不出來啦(攤手)
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嗯嗯ow o
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