推 shiburin : 阿我就是卡在「次數沒有比較低」那邊，非常感謝你:) 06/07 13:22
※ 引述《shiburin (希布凜)》之銘言：
: 標題: [代數] 多項式分解存在性的問題
: 時間: Thu Jun 6 14:51:37 2019
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: 我想問的是 [ factorial ring 的多項式也是 factorial ] 證明裡的一步
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: 一般課本的證明會移到 quotient field 上去證明
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: 但是我想問的是
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: 在原本的 ring (因為是 integral) 上不是也有 deg (fg) = deg(f) + deg(g) 的性質嗎?
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: 這個不是可以用來說明多項式分解成 irreducible 的多項式可以分解成有限項嗎?
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: 為什麼還要特別跑到 quotient field 上去引用 field 多項式分解的存在性呢?
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: 推 Vulpix : 不是存在性的問題，是唯一性。不分解也是一種分解。 06/06 15:44
: → Vulpix : 然後 ring 不一定能定義 deg。 06/06 15:44
: 我不太懂不分解也是分解是什麼意思
如果你只是要分解的存在性，那不分解也可以看成是一種分解。（所以沒有意義。）
例如 7 = 7，7（在Ｚ中）無法分解，那 7 就是 7 的分解。
6 = 2*3，2*3 是 6 的一種分解，但其實 6 也算是一種分解。
: 還有我記得 factorial 定義裡有 integral domain 這樣應該可以定義 deg 吧?
你應該要想一下 deg 到底是什麼……
例如Ｚ上你如何定義 deg，而且 deg 到底對你的證明有多少幫助。
: 明確一點，我是想問除了一些從多項式裡提出來的係數需要用到唯一分解
: 多項式本身的分解可以下圖這樣說明就可以了吧?
: https://imgur.com/Hi4xwie
這張圖裡面的證明是說：
1. 如果 f 不能分解，結束。（不能分解也是一種分解。）
2. 如果 f 可以分解，那一定可以拆成兩個更低次的多項式。
注意到這裡他寫的是Ｋ，所以雖然你沒有把定理截圖出來，
但依照一般代數書的習慣，這裡的Ｋ一定是 field。
所以 2. 才是對的。
如果Ｋ換成一個 factorial ring R，那你還要擔心這種情況：
以 R =Ｚ來說，2t = 2*t，f = 2t、g = 2、h = t，
那 f 被拆成兩個不可約多項式的乘積，
其中有一個 h，deg(h) = deg(f)，次數並沒有比較低。
所以在說明 f 能夠分解成不可約元素的乘積的時候，
要將係數的 gcd 提出另外分解，這樣才能確保 f 被分解乾淨。
但是我們仍然不確定分解是否唯一。
因為我們只是找到一種分解方式而已。
: ※ 編輯: shiburin (140.112.7.185 臺灣), 06/06/2019 16:00:21
: → Desperato : 因為factorial ring = unique factorization doma 06/06 17:15
: → Desperato : in 吧 重點是唯一分解 06/06 17:15
: → Desperato : 所以只有證明分解不行 要證明分解只有一種 06/06 17:16
: → Vulpix : Z 是一個 integral domain，deg(100)=? 06/06 18:18
: → Desperato : 舉個例子 設c=sqrt(-5) 則 R = Z[c] 不唯一分解 6 06/06 20:08
: → Desperato : = (2)(3) = (1+c)(1-c) 此時多項式 R[x] 也不會唯 06/06 20:08
: → Desperato : 一分解 06/06 20:08
幫忙修掉:p
因為 R =Ｑ[c] 其實是 field，那 R[x] 會是 PID => UFD。
: → Desperato : 反例 6x^2+(1+5c)x+(-7+c) 06/06 20:09
: → Desperato : =(3x+2+c)(2x-1+c) 06/06 20:09
: → Desperato : =((1-c)x+2+c)((1+c)x-1+c) 06/06 20:09
: → Desperato : 所以光只是分解不行 還要說明分解是唯一的 field的 06/06 20:10
: → Desperato : 多項式是ED 所以當然唯一分解 這就是為什麼要搬過 06/06 20:10
: → Desperato : 去用的理由 06/06 20:10
把不對的句子刪掉:p
（因為 6、2、3 都是Ｑ[c] 的 unit。）
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