作者MathWang (數學王)
看板Math
標題Re: [中學] 三次根號-8的定義
時間Wed Jul 24 01:12:23 2019
謝謝LPH66老師的幫忙！
※ 引述《LPH66 (IS YOU)》之銘言：
: ※ 引述《MathWang (數學王)》之銘言：
: : 現在單老師請大家幫個忙。
: : 1.針對重要結論1
: : 找例子，在解決問題的脈絡中出現計算「三次根號-8」的需求，
: : 而不是一道直接把「三次根號-8」寫在題目上的問題。
: : （所謂「脈絡」不是專指情境應用題，
: : 數學內部的問題也可以，只要它不是直接的計算題。）
: 不確定這個適不適合這邊的需求:
: 對 x^3-24x+72 = 0 使用三次式的公式解卡當公式
: (之所以不確定行不行的原因之一是卡當公式即使是高中程度也是課外
: 但三次式公式解對一些想探究數學的高中生來說應該多少會去找過資料或有聽過)
單老師在這裡需要的例子，應該不用限定在高中數學
: 這裡 p = -24, q = 72
: 首先判別式是 q^2/4 + p^3/27 = 784 = 28^2
: 所以公式內的二次根號開出來是 28
: 因此依照公式一個解就是 三次根號(-36+28)+三次根號(-36-28)
: = 三次根號(-8)+三次根號(-64)
: 這裡的狀況是, 兩個三次根號如果選取適當的複根則由這式子即可求出原方程的三根
所以，這裡的三次根號應該是多值函數的概念，
而不是定義3次根號等於某個定值
（無論是實數解或主值 (LPH66老師提到的角度最小的值)）
那麼
這邊的3次根號可以寫成1/3次方嗎？
: 三次根號-8 的三個(複)根是 1+√3*i, -2, 1-√3*i
: 三次根號-64 的三個(複)根是 2+2√3*i, -4, 2-2√3*i
: 其能求出原方程的三根的組合是
: (1+√3*i)+(2-2√3*i)=3-√3*i, (-2)+(-4)=-6, (1-√3*i)+(2+2√3*i)=3+√3*i
: 可以用因式分解驗證: 原式可分解為 (x+6)(x^2-6x+12)=0, 容易驗證這三個是根
: 之所以會有這種狀況是卡當公式推導過程當中的一個開立方根的動作
這裡是重點，開立方根，因此會有三個解，就出現多值函數的概念了...
: 那裡會需要把兩個值開(複)立方根以使其積為已知數 -p/3
: 在這個式子的狀況下是 -8 和 -64 的(複)立方根使其積為 8
: 可以看到上面的三個選法兩個部份的積都是 8
: 這裡就是另一個不太確定能不能用來討論的地方
: 因為這裡的三次根號其實是開(複)立方根的簡寫 (而且還得要是特定組合才行)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 由於公式的狀況中要開立方根的數不一定是實數
: 所以這裡可能得要取主值 (角度最小的值) 才行
: 但由於條件的關係, 如果這兩個開立方根的數都是實數的話取實數立方根就會滿足
: 反而都取主值的話會不合
: －－上例就是如此, 如果都取主值會變成 (1+√3*i)+(2+2√3*i) = 3+3√3*i 不是其根
: 所以我會認為如果真的要寫負數的奇次根號, 那就得要說明狀況到底是怎麼回事
所以這個例子不像是單老師要的
但還是很感謝LPH66幫忙設計這個例子
: (又一個類例, 我先前在 #1ROgWcC7 回過一題有五次根號的題目
: 那題我是先假定通通都在實數裡討論才有那篇的解法
: 不然如果取複根主值那題是無解的
: 會想到卡當公式其實也是因為那題
: 在那篇有人推文說那題應該是從卡當公式發想來的)
: 我想這也是發問者為什麼會想找不是單純計算三次根號而是其實際用途的例子的原因
: 但這我覺得對於釐清問題沒有幫助－－要討論用例就真的必須 case by case 才行
: 我舉的例子可能和其他人舉的例子的狀況不一樣, 混在一起討論就會更亂
我發問的重點在於，高中數學採用這樣定義是否太深了？
3次根號要取主值 (角度最小的值)
若有實數解，是否可定義成實數解
畢竟長久以來一直這樣使用
但是單老師回應，也有可能長久以來一直都是錯的...
: ====
: 提到 #1ROgWcC7 我想為那篇簡單補充一點我對這個式子的觀點
: 我的原文是寫「這裡寫根式可以假定它只問實數」
: 這是因為原題除了直接寫出五次根號之外沒有其他東西
: 而式子裡又沒有特別出現 i, 所以會認為題目本身的討論範圍是實數域
: 這才有了那一句話的
: 所以我對奇次根號的觀點其實可以說是
: 「如果在實數域裡討論, 那奇次根號就都取實數那個」
: 這其實和最開始的討論沒有衝突, 因為這問題是在討論開立方根的複根時出現的
: 本身的討論域就已經是複數域了, 因此不會強硬套用在實數域裡的看法
: ====
: 至於 1/n 次方
: 實指數是有一個定義在的 (x^y = exp(y*ln(x)))
: 先不管到底要不要在高中程度討論 ln 帶負參數要引入複變函數的問題
: 這是一個 (至少在考慮複變函數後) 有唯一結果的一個定義
: 也就是說, (-8)^(1/3) 就一定是 -8 的立方根中主值的那一個 1+√3*i
這個單老師也有提到（如下）：
在微積分課裡，我們會跟學生約定 y=x^(1/3) 就是 y^3=x 的意思，
所以在那裡 (-8)^(1/3)=-2 是對的。
但是在其他課裡，我們也會約定 x^y = exp(y*ln(x))，
這時候 (-8)^(1/3) = 1 + sqrt(3)i。
我的點就在於，微積分課(-8)^(1/3)=-2 是對的，
為什麼單老師在課程手冊說不行？
: 那這和 n 次方根一不一樣的問題
: 以我的觀點來看 (ie. 以下是我的一家之言, 姑妄言之姑聽之就是了)
: 如果只討論實數域, 那就會有原 PO 提到的 1/3 次方和 2/6 次方衝突的問題
: 所以這不只是一不一樣的問題, 這是定義上會有衝突的狀況
: 因此才會有「我們不討論負數的非整數次方」這種消極處理方式
: (相對的, n 次方根由於不是有理數的形式, 不會有這種衝突在
: 因此才可以用「只取實數解，多個實數解取正的那個」的這種解決衝突的辦法)
: 那當我們就用這種遮住一隻眼睛的方式來討論實數域的狀況的話
: 在我們能夠討論的地方 (底數為正時) 1/n 次方和 n 次方根是一樣的
: 回到這個衝突, 這要到複數域討論才能解決:
: 在複數域的狀況下就算是平方根都是有歧義的
: (√(-2i) 你要說是 -1+i 還是 1-i ?)
: 而如果取一般消除這個歧義的約定－－取主值－－的話
: 1/n 次方就和 n 次方根就也是一樣的東西了
: 因此我的觀點是:
: 「1/n 次方和 n 次方根是一樣的, 但實數域歸實數域, 複數域歸複數域」
: 實數域的狀況只有定義能定義的那一半, 因為照樣延伸到另一半就會有問題
: 複數域用它自己才有的方法 (取主值) 把問題解決了, 但這本質上就是不能套回到實數域
: 會有它們不一樣的錯覺是因為把實數域的延伸狀況和複數域的做法混在一起的關係
LPH66老師說得很清楚，這樣我比較能理解單老師的用意
雖然自己的接受度還是不高，但還是有進步了
感謝LPH66老師
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