Re: [微積] 一題積分

[j0958322080 (Tidus)]

※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言：
: https://i.imgur.com/nmbgC8d.jpg
: 照著上面說的找出I'(x)後就卡住了，積分無法拿掉，想問問看該怎麼解，謝謝。
:
 ∞
∫ exp(-t^2 - (9/t)^2)dt
 0
exp(-t^2 - (9/t)^2) = exp(-t^2 - (x/t)^2) = I(-x) = exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]}

I'(x) = (-2x/t^2)*exp(-t^2 - (x/t)^2)

      = (-2x/t^2)*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]

let u = -t - (x/t), du/dt = -1 + x/t^2

I'(x) = -2*(1-x/t^2)*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]} + 2*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]

dI    = 2*exp[(-u^2 + 2x)]du - 2*exp[-(-t - (x/t))^2 + 2x]

∫∫I'(x)dxdt = -∫∫2*(1 - x/t^2)*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt
                +∫∫2*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt

2nd term = 2∫∫I'(x)dxdt

-->∫∫I'(x)dxdt = ∫∫2*(1 - x/t^2)*exp[(-t - (x/t))^2 + 2x]dxdt
                 = ∫∫2exp(-u^2)exp(2x)dxdu
                           ∞
                 = exp(2x)∫  exp(-u^2)du = exp(2x)*√π/2
                           0

 ∞                                           √π
∫ exp(-t^2 - (9/t)^2)dt = ∫∫I'(-9)dxdt = ---------
 0                                          2*exp(18)

參照wolframe然後湊答案的

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Fw: [問卦] 電影：決勝21點的機率問題  https://goo.gl/2BpbB7  #1MfN3FgZ (joke)
→ yeebon: chx64的1/2悖論真的很經典呢
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chx64註冊tisen這帳號是想幹嘛啊？哈哈哈

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→ j0958322080 : 有點怪怪的
推 ac01965159  : 謝謝，按計算機好像答案也是這樣，不過還需要一點
→ ac01965159  : 時間看看怎麼算
推 mzhrqoc01   : 在取u=-t-x/t時不會影響對u積分的上下範圍嗎
→ mzhrqoc01   : 是不是在x>0時取u=t-x/t，可以讓u積分的上下界變成
→ mzhrqoc01   : 負無限到正無限
推 chemmachine : 推積分變換。