推 Lanjaja : 謝謝V大，我先補一下相關知識，再試試看您的提示自 08/08 21:46
※ 編輯: Vulpix (1.163.47.157 臺灣), 08/15/2021 20:45:03
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請教一下板上的強者，
: 一個逆運算子看似很明顯的性質：
: [1/(D-a)][1/(D-c)]r(x) = [1/(D-c)][1/(D-a)]r(x)
: 我想從積分表達式開始直接證明
: x
: [1/(D-a)]r(x) = exp(ax)∫exp(-ay)r(y)dy直接著手
: 可是發現
: x y
: exp(ax)∫exp(-ay)exp(cy)∫exp(-cz)r(z)dz
: 不知道要怎麼做變換才能夠得出
: x y
: exp(cx)∫exp(-cy)exp(ay)∫exp(-az)r(z)dz
: 懇請板上強者幫忙解答一下
: 感謝回答～
先用個比較馬馬虎虎的講法，這是 convolution。
而 convulution 有交換律、結合律，都是已知的事實。
所以
exp(ax)＊(exp(cx)＊r(x))
= (exp(ax)＊exp(cx))＊r(x)
= (exp(cx)＊exp(ax))＊r(x)
= exp(cx)＊(exp(ax)＊r(x))
剩下的就是去算出來而已。
第一個等號要做積分順序調換，用到 Fubini's Theorem。
然後把那個積分積完就好，會很明顯看到 a 和 c 的對稱性。
所以剩下的就不用動手做了。
不過難點還是有，會卡在下限那邊。
這個可以適當地先選 0 來用，用完再丟掉。
（要用 convolution 來做，就一定要選 0。
丟掉則是因為多出來的東西在 kernel 裡面。）
畢竟我們所謂的逆運算子，還要顧慮到各自「正」運算子的 kernel。
如果算出來只差一點 A*exp(ax)+C*exp(cx) 的話，確實就是沒差。
但也有 D 的函數彼此之間不能交換的例子：#1X3H7Xj3 (Math)
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