推 Vulpix : 已拜讀完畢，這樣確實更能看到本質。 08/21 02:31
我又仔細想過，整理如下：
以D代表微分算子d/dx，I=identity
考慮形如L=L(x,D) = g_n(x)D^n + g_(n-1)(x)D^(n-1)+... g_1(x)D+g_0(x)I的微分算子。
欲解方程 Ly=f 之特解，令 L^-1 (f) = {y | 所有Ly=f之解 }。
首先注意到，只要L不要太差，ODE的存在性定理可以保證 Ly=f 至少在局部是有解的。
另一方面Ly=0一定有解，因為L0=0，但通常還會有其他解，也就是平常解ODE時稱的齊性解
部分 ker L = L^-1(0)
只要L不要太差，ODE的存在及唯一性定理也保證 ker L是有限維空間，維度為n。
1.不會錯的情形
設V為有限維空間，使得L:V->V (也就是對於L有封閉性)，且在V上，L為injective
由基本的線性代數知道
L:V->V 同時還是surjective，這個反函數 L^-1 還可以表成L的多項式。
所以只要所有涉及的微分算子都和L可交換，那跟L^-1的運算基本上怎麼算都會對。
這個實際的例子就是 V是特定多像式*指數函數、多項式*三角函數的線性組合
L是常係數，且V裡面都不是L的齊性解。
當然先決條件是在算L^-1 f的時候，要取那個唯一V裡的元素。
也就是算 D^-1 exp x 固定要取 exp x 不能故意取 exp x + 1之類的...
2. 一般的情形
容易驗證 a. 若 L=L1L2，則 L^-1 = L2^-1 L1^-1
因此有 a'.若 L1L2= L2L1 則 L2^-1 L1^-1 = L1^-1 L2^-1
可見對於兩個可交換的算子，他們的逆運算子也可以交換，這點沒有問題。
但是，L2 L1^-1 f 和 L1^-1 L2 f 卻未必相等。
容易驗證 b. L2 L1^-1 f <= L1^-1 L2 f (<=表示包含於)
所以我們只要考慮 f=0的情形
左邊是 L2 ( ker L1) ，右邊是 ker L1
所以"="成立 <=> L2(ker L1)=ker L1
<=> L2: ker L1-> ker L1 is surj. (L1L2=L2L1自然可以限制於ker)
<=> L2: ker L1-> ker L1 is inj (ker L1有限維)
<=> ker L2 交集 ker L1 = 0
故有b' 若又有ker L1交集L2=0 則 L2 L1^-1 = L1^-1 L2
這在常係數的情形就是L1,L2視為D之多項式互質。
換句話說，只要「分子」、「分母」互質，那麼分數不必特別在意順序。
如果把L1, L2進行質因式分解，要計算 L2L1^-1 或L1L2^-1就只要考慮prime power
設P為不可約多項式，則L1=P^u, L2=P^v
則 L1L2^-1 = P^u P^-v = P^(u-v) (注意到 LL^-1=I是恆等，所以這個沒問題)
L2^-1 L1 = P^-v P^u = P^(u-v) + ker P^v 會多出一項齊性解空間。
實務解方程中，其實我們並不在意答案差了某個W=ker L裡的元素，如果在quotient W下
考慮，如果出現多餘項ker P^v 都在 ker L裡面，那其實也可不管。
3. 回到原題目欲計算 L^-1 f，其中 L(D)=D^3 - 3D + 2I = (D-I)^2(D-2I)
f=x exp x
上一篇已經講過若令g=exp x而使用 L^-1 xg = x L^-1 g + L^-1 L' L^-1 g這個公式
必須要兩項的L^-1 g都取一樣才可以。
所以我們參照Vulpix 在 #1X3H7Xj3的解法
先求出 L^-1 g = h = (1/6) x^2 exp x 之後，直接代入
(Remark：其實很合理，第二項雖然看似有很多機會耍花樣，但是第一項只單純乘以x應該
是沒有，終究是要乖乖算L^-1 g)
那如果用前面分析的
第二項 = L^-1 L' h
= (D-I)^-2 (D-2I)^-1 (3(D-I)(D+I)) h
= 3 (D-I)^-2 (D-I) (D-2I)^-1 (D+I) h
= 3 (D-I)^-1 (D-2I)^-1 {(D+I)h} + ker (D-I)^2
最後這項在ker L裡可不管。
表面上要算逆運算的階數變少了，但是{}算完之後 x^2 exp x項還在，比本來x exp x還
多了一個x。
雖然是對的，但也不知道這樣到底有沒有化簡到。
而Vulpix的作法
第二項 = L^-1 L'(x^2*e^x)/6
= L^-1 [(2x+1)e^x] (直接算，不去想那些交換約分的事情)
= 2L^-1 (xe^x) + (x^2*e^x)/2 (結果得到和題目一樣的東西)
故 L^-1 f = (x^3*e^x)/6 - ( 2L^-1 f + (x^2*e^x)/6 )
L^-1 f = (D^3-3D+2)^-1 (xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18
(最後用移項解決問題)
可以看到，之所以能夠產生和題目一樣的項，就是因為沒有另外處理。
可見，前面的討論在這題正解派不上用場。
1. 不過倒可以解釋本題錯解錯的地方。
2. 還有為什麼很多情形這個方法會對。
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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