[機統] 三道門機率問題

[scitamehtam (scitamehtam)]

這題是經典問題

題目特別強調“主持人知道哪一扇門才有汽車”

而其他兩道門後面是羊

這樣的假設是否是多餘的？

我的想法

如果參賽者選擇A門

主持人打開B門後，是一頭羊

在打開看到這B門是頭羊的條件下，是已發生的事實

根本不用管主持人是否知道？ 知道打開也是羊，就算不知道現在情況下打開也是羊了啊？

而這題的解答

可否思考如下

參賽者只能選擇一道門，所以拿到車的機率是1/3

P(A)=P(B)=P(C)=1/3

沒選到車的另兩個門有車的機率是2/3，但個別機率是1/3

當主持人任意開啟一門假設是B門，發現是一頭羊 （令此事件為E）

則另一道門是車的機率就變成2/3  (ie. P(B)+P(C)=2/3)

P(C|E) = 2/3, P(A|E) = 1/3, P(B|E) = 0

P(C|E) > P(A|E) 所以理當要換門？

請問我的理解有錯誤嗎？

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.44.16 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634292092.A.11E.html
推 Vulpix      : 你主持人開到車怎麼辦……
given 打開B門是頭羊的情況下，主持人知不知道應該沒差吧？

看到事件E的同時，已經確定B是一頭羊而不是車

推 j0958322080 : #1MfN3FgZ (joke)
我大概能接受換門獲獎率比較高的答案，但我提出的思考方式是否有錯誤呢
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 18:12:06
→ a547808588  : 一樓說了啊，要是主持人不知道開到車怎麼辦，畢竟
→ a547808588  : 正常情況下大家都要車
推 Vulpix      : 主持人不知道車在C門，他要怎麼知道該開B門？
→ Vulpix      : *車不在B門
→ Vulpix      : 總之，你算的是條件機率。已知條件是主持人隨意看
→ Vulpix      : 了B門，門後是羊。
→ Vulpix      : *開了
嗯嗯，我就是假設主持人任意開了一個門，而這個門剛好是頭羊
推 a547808588  : 可是主持人也可能隨意開，開到的是汽車，那麼再笨
→ a547808588  : 的人都要選車，所以要排除這種狀況。畢竟題目是問
→ a547808588  : 來賓換不換門，要是知道那扇門後面車，那麼他一定
→ a547808588  : 會換，那麼這個情況討論起來就沒有任何意義
同意，那我後面計算機率的想法是否有正確呢？

謝謝解答
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 19:05:51
推 LPH66       : P(B)+P(C)=2/3 推不出 P(B|E)+P(C|E)=2/3
推 LPH66       : 嗯...這樣講試試? P(E) 在主持人不知道謎底時是 1/3
→ LPH66       : 在主持人知道謎底時是 1/2
→ LPH66       : 因為「主持人知道謎底」這件事讓某些狀況的機率變 0
→ LPH66       : 和這些被「刪掉」的事件成對的事件才會收到所有機率
→ LPH66       : 這在主持人不知道謎底時是不會發生的
→ LPH66       : P(E) 在主持人知道謎底時是 1/2 也能這樣看:
→ LPH66       : 加入事件 F「主持人開 C 門看到羊」, 顯然機率同 E
→ LPH66       : 若主持人知道謎底, 則 E 和 F 就是全部了, 所以各半
→ LPH66       : 若主持人任意開, 則要算上開門看到車的 1/3 才是
→ LPH66       : 全部, 所以 E 和 F 只有各 1/3
汽車在Ｘ門後的事件 Ｘ＝A, B, C
E主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一隻羊
F主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一台車
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(E) = 1/2 * 1/3 = 1/6
P(F) = 1/2 * 1/3 = 1/6

P(C|E) = P(C, E) / P(E) = 1 - P(A) = 2/3 (C 交集 E 等價 A')
P(B|E) = P(B, E) / P(E) = 0 * 6 = 0 (B 交集 E = empty)
P(A|E) = 1/3

我把它寫仔細一點 這樣呢？ 有沒有不對的地方 感謝分享
※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 20:24:57
推 LPH66       : C 交集 E 不是 A', 是 A' 交集 (主持人開 B)
→ LPH66       : https://i.imgur.com/RyNckpu.png 把所有狀況寫開
→ LPH66       : 則「主持人開 B 門看到羊」是 U 聯集 Y
→ LPH66       : C 交集 E 是 Y, 但 A' (排除 B) 則是 Y 聯集 Z
→ LPH66       : 就是這個 Z 的有無造成機率不同
→ LPH66       : 在主持人任意開的狀況時, Z 機率非零
→ LPH66       : 在主持人知道答案的狀況時, Z 的機率是 0
→ LPH66       : 因為這個不同加上 P(Y)+P(Z)=1/3 所以 P(Y) 不同
→ LPH66       : 跟著 P(E) = P(U)+P(Y) 也就不同了
推 LPH66       : (啊, 原本是有要在表裡寫機率所以寫了 1/2
→ LPH66       :  但這 1/2 只在任意開時能事先得知, 另一種狀況
→ LPH66       :  雖然恰好也是 1/2 但不是給定的)
推 TaiwanFight : 你可以把參賽者拿掉   有三個們主持人自己點一個門
→ TaiwanFight : 不開  然後另外兩個門打開一個 發現是羊
→ TaiwanFight : 所以現在這兩門是1/3 2/3 這其中必有問題
→ TaiwanFight : 至於數學計算  至少每一個事件定義要明確  才能算
→ TaiwanFight : 條件機率的語言處理 比數學本身稍難