Re: [代數] 問一題模考的多項式

[LimSinE (r=e^theta)]

保留題目。偏不用整除XD

由題目可知 x^2 - x + a 之兩根 z, z'滿足 z+z'=1, zz'=a
且f(z)=f(z')=0, 其中f(x)=x^13+x+90

僅考慮z,z'非有理數的情形，此時對於Q(z)中的元素 u 均可唯一表成Az+B的形式
且可定義norm N(u)=uu'=(Az+B)(Az'+B)=A^2a+AB+B^2

那麼N(z)=a, N(z^13)=N(-z-90)=a+8190
因為N(z)^13 = N(z^13)，得到關係式(必要條件)  a^13 = a + 8190

容易發現a=2是唯一解XD (還需帶回驗算，很多方法)

不過這可以告訴我們一個線索
如果題目要出 f(x) = x^d + x + C 或 x^d - x + C
那首先要滿足必要條件 2^d = 2 + B + B^2 的B 有解
用程式找一下，d在100內只有d=1,2,3,5,13，所以可能是一個很特別的例子。

※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: 今年數A的模考題，沒有原題，以下是簡述
: ==============================================
: 已知 a 是整數
: 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式
: 試求 a
: ==============================================
: 本題是單選，因此刪一刪答案就出來了
: 但我還是有幾個問題，有點抽象不好意思
: Q1. 雖然可能的 a 只有一個，其它都不可能
: 但要怎麼確定這個 a 真的是答案？
: Q2. 有沒有一個定理類似以下敘述，或是反例
: 「設整係數多項式 f, g, 會有一個正整數 N = N(f, g) 使得
: 若有 N 個相異 c 滿足 g(c) | f(c), 則 g(x) | f(x) in Q[x]」
: 由於有 2 | n(n+1) 的情況，整除只能在有理數多項式內
: Q3. 出題老師是怎麼知道，或是從哪裡知道
: x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式的？
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: 推 RicciCurvatu: Q1 確定 a後解出兩根 帶入左式就知道了 Q3同理       12/02 00:29
: 呃 兩根是 (1/2)(1+sqrt(7) i) 我不覺得代入是好方法XD


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                                代數幾何觀點！
                          Algebro-Geometrical Aspect!

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推 emptie      : 這大概是沒提示商式的情況下的做法
→ emptie      : 確實超過高中範圍太多了
→ LimSinE     : 其實也不遠喔，如果z,z'是虛根(如本題)，那norm就是
→ LimSinE     : 複數平面的絕對值平方，用到乘法性質都是高中範圍XD
→ LimSinE     : 然後x^13+x+90嚴格遞增，所以也不可能有兩實根XD
推 TimcApple   : 這個猛
推 LPH66       : 那條必要條件可以乘 4 變形為 (2B+1)^2 = 2^(d+2)-7
→ LPH66       : 右邊這東西要恰好踩到一個奇完全平方數...
→ LimSinE     : 誒這有名字...Ramanujan–Nagell_equation
推 LPH66       : 所以這五解就真的是僅有的五解 wow
推 Vulpix      : 不過還是超綱;p 因為學測沒有複數QQ