[分析]Riemann-Stieltjes積分如果α=0則f可無界?

[alan23273850 (God of Computer Science)]

如題﹐小弟我最近又有一個疑問了，Rudin 在定義 Riemann-Stieltjes 積分的時候，

只規定 (積分因子?) α 不遞減而已，不一定要嚴格遞增，可是又說 f 要 bounded，

雖然這樣是可以保證可積沒錯，可是我又在想，如果 α(x) = 0 for all x 的話，

那 f 無論是多少，每個 partition 的上和 & 下和都會是 0 (provided inf * 0 = 0)

這樣不是就滿足積分收斂的定義了嗎？所以我想問，f 如果 unbounded 但是上下和明顯

收斂的話，算是有沒有定義 Riemann-Stieltjes 積分了呢？先謝謝諸位了！

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推 ERT312      : f bounded 並無法保證可積,而 f unbounded的話
→ ERT312      : M_i或m_i連定義都無法定義,即使你讓α為常數函數也
→ ERT312      : 一樣 所以一開始的條件就說 f 要bounded
→ alan23273850: 所以在 extended real number system 底下無限大只
→ alan23273850: 能用來比大小，不能乘以 0 = 0 囉？
→ alan23273850: 衝著大大二樓所說的 "無法定義"，在 extended 系統
→ alan23273850: 下其實是可以的，所以問題應該是 reduce 到說 exten
→ alan23273850: 系統下有沒有定義 inf * 0 = 0 這句話
→ alan23273850: 真正問題其實是從 https://imgur.com/7O2FDQp 衍伸
→ alan23273850: 而來，我個人認為這裡的 f 既不需要 bounded 也不需
→ alan23273850: 要 continuous，然後說積分結果會是 f(s+) 就好？
推 ERT312      : f若在s不連續 M2跟m2可能不會收斂到同一個值
→ alan23273850: 那是因為他最後結論是 f(s)，但如果只要 f(s+) 的話
→ alan23273850: 其實 f 根本什麼假設都不用有，連 bounded 都不用？
推 ERT312      : 不收斂到同個值就不可積了呀
→ alan23273850: f(s+) 也是一個值阿～～ 不用在 f(s) 有定義
→ alan23273850: 喔喔喔 我好像想錯了 f(s+) 其實也是由 "許多" 函數
→ alan23273850: 值所組成起來的
→ alan23273850: 所以 extended 系統有沒有定義 inf * 0 = 0 我還是
→ alan23273850: 不知道
→ alan23273850: 剛查了一下 Rudin 確實好像沒有看到這個規則
推 ERT312      : extended real 沒有硬性規定 inf*0=0 (要到測度論)
→ ERT312      : 這裡還不需要特別定義 extended real
→ alan23273850: 懂了！看來是因為這裡沒有出現 extended real的緣故
→ alan23273850: 非常感謝 ERT312 大
推 znmkhxrw    : f有界的時候可以有諸多RS可積的等價定義
→ znmkhxrw    : 但是今天如果你自行定義RS可積為"不需要f有界"
→ znmkhxrw    : 那其實你可以從"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1) 這個定義"
→ znmkhxrw    : 去推出f是有界的, 前提是α絕對遞增
→ znmkhxrw    : 可以參考#1GzOHyV2這個證明
→ znmkhxrw    : 總之, (1) 採用"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1)"這定義的
→ znmkhxrw    : 的話, 當你α絕對遞增時, 若可積則可"推導"出f有界
→ znmkhxrw    : (2) 承(1), 你的例子α不是嚴格遞增, 所以雖然符合
→ znmkhxrw    : 上述的可積定義, 也導不出f有界
→ znmkhxrw    : (3) 普遍大家會用f有界當前提, 這樣α不用嚴格遞增
→ znmkhxrw    : 而且也有一堆等價定義(因為M_i,m_i這個在f無界是廣
→ znmkhxrw    : 義實數的範疇, 因不同領域的方便性而有不同定義)
→ alan23273850: 太詳細了！再次謝謝 z 大～
推 znmkhxrw    : 不客氣~
推 chy1010     : 先考慮有界, unbounded 用瑕積分的方式去定義
→ alan23273850: 樓上是熟悉的 id 呢，不過這個回答我喜歡，衝著這句
→ alan23273850: 話我又上網複習了一下什麼是瑕積分，Rudin 只在第六
→ alan23273850: 章的習題 7,8 定義它們而已，而且還是單邊的，果然
→ alan23273850: 是古書。* 更正：熟悉的 id --> 令人懷念的 id
推 chy1010     : 很多書的脈絡大多類似, Lebesgue 積分也是 simple
→ chy1010     : function 取極限, 道理很像.