: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.105.54.161 (臺灣)
: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html
: 推 Vulpix : 推深入淺出介紹Fourier！ 01/05 00:59
: 推 znmkhxrw : 謝謝L大詳細的介紹, 很舒服! 另外你文末說的"留做 01/05 01:22
: → znmkhxrw : 習題"是什麼意思呢? 是指咱i以用inversion來用好算 01/05 01:22
: 推 znmkhxrw : 之前思考時遇到一個問題是, L2的FT是迂迴定義法, IF 01/05 01:25
: → znmkhxrw : T是在證明FT是雙射後才定義出IFT是其反函數, 所以如 01/05 01:25
: → znmkhxrw : 果今天你採用迂迴定義法去定義IFT的話, 那還需要去 01/05 01:25
: → znmkhxrw : 證明這兩種IFT是相等的 01/05 01:25
: 推 znmkhxrw : 所以你說的留做習題是指要先證明這兩種IFT是一樣的 01/05 01:27
: → znmkhxrw : 才能用好算的一邊去推得不好算的一邊嗎 01/05 01:27
: → znmkhxrw : P.S. 推文第1,2行有少資料, 幫略過 01/05 01:28
:
: 之所以留成習題是因為這邊其實一些沒那麼直接的事情...
:
: 譬如說IFT，基本上IFT的定法和FT一樣，只是i換成-i，所以也是可以照相同步驟延拓定義
: 而只有在L^2、S、S'上IFT和FT能互為反變換(定義域和對應域相同)
:
: 互為反變換，也就是IFT{FT{f}}=f這件事，嚴謹的話就要花點力氣證
: (注意到i和-i的對稱性，所以FT{IFT{g}}=g同理)
:
: 但據我所知，F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射應該證明上述反變換關係才能得到吧。
: (單射還可以用保距性)
: 所以應該沒有先用雙射造出一種IFT，積分+迂迴定出另一種，再來證明相等。
:
: 其他像在Step 4裡面
: delta function的變換雖然簡單，但反過來計算1的變換，卻相當於IFT反變換關係
: 其實也很合理
: distribution -> function 這個方向比較好算(畢竟算出來是一個好好的函數)
: 反過來要算出distribution就比較麻煩，幸好有反變換幫忙。
:
: 不過，也不是總有一邊好算，譬如Dirac comb的變換還是Dirac comb，
: 兩邊都一樣難(應該說兩邊根本一樣)。這和Possion summation formula有關。
:
: 對於distribution的情形，能不能把工數常見計算手法依照這篇的邏輯架構嚴謹說明
: 就是我想的習題。
:
: 推 alan23273850: 這篇好猛 大大也可以學我寫書 01/05 09:37
: 推 HeterCompute: 邏輯脈絡好清楚! 01/05 18:09
: ※ 編輯: LimSinE (219.85.157.150 臺灣), 01/06/2022 23:24:59
: 推 znmkhxrw : 謝謝L大的回覆, 我是看Zygmund第二版的第13章的 01/06 23:53
: → znmkhxrw : 他通篇都沒提到"反傅立葉轉換"的定義, 只有定義 01/06 23:53
: → znmkhxrw : 傅立葉變換的反函數, 即你符號的F跟F^-1 01/06 23:54
: → znmkhxrw : 而他確實有證明F:L^2→L^2是雙射 01/06 23:54
: → znmkhxrw : 而如果照L大你說的流程, FT跟IFT都是用迂迴定義法 01/06 23:55
: → znmkhxrw : 去定義的話, 那就有FT:L^2→L^2, IFT:L^2→L^2都是 01/06 23:55
: → znmkhxrw : 雙射, 只是我不知道怎麼證明FT^-1 = IFT 01/06 23:56
: → znmkhxrw : 還是你的意思是, 我參考他怎麼證"雙射"的步驟就能 01/06 23:56
: → znmkhxrw : 解決我的疑惑? 01/06 23:56
: 推 Vulpix : 抓一個dense subset出來直接算，然後by continuity 01/07 00:17
: → Vulpix : ？是說，這問題不就是上面的「花點力氣證」嗎？ 01/07 00:17
: 推 znmkhxrw : V大你說L大的"花點力氣證"的部分確實就是我想證的 01/07 01:43
: → znmkhxrw : 但是L大下面接著說「F：L^2→L^2是雙射，尤其是滿射 01/07 01:44
: → znmkhxrw : 應該證明上述反變換關係才能得到吧。」 01/07 01:45
: → znmkhxrw : 我把這句話翻譯成「F 是onto 要用FT^-1 = IFT證」 01/07 01:47
: → znmkhxrw : 所以我才會覺得奇怪(我敘述的FT都是L大的F) 01/07 01:48
: → znmkhxrw : 因為Zygmund證FT雙射時通篇沒有定義IFT 01/07 01:49
: → znmkhxrw : 所以我才問「證FT雙射的技巧 等價於 FT^-1 = IFT」 01/07 01:49
: 推 znmkhxrw : ^是否 01/07 01:51
: 推 Vulpix : Zygmund的證明是13.51，中間用了F(x)=FT[f](-x)， 01/07 04:05
: → Vulpix : 先不管後面繞路的事，這就是IFT啊。(把i換成-i) 01/07 04:06
: 推 Vulpix : 雖然可以利用單射先造一個值域上的IFT然後努力延拓 01/07 04:17
: → Vulpix : ，但我不認為這樣比較方便。 01/07 04:22
整理一下我的想法, 結合跟L大與V大討論"反傅立葉轉換 = 常數 * 傅立葉轉換的反函數"
《定義與符號》(以R^1舉例)
FT1 {f}(x) := f€L^1上的傅立葉轉換, ∫_{x€R} f(t)*e^(-2πi*t*x) dt
IFT1{f}(x) := f€L^1上的反傅立葉轉換,∫_{x€R} f(t)*e^( 2πi*t*x) dt
FT2 {f}(x) := f€L^2上的傅立葉轉換, L大文中的迂迴定義法, 藉由L^1∩L^2在L^2
的稠密性, 挑L^1∩L^2中收斂到f的函數列f_n, by Zygmund lemma 13.50
使得FT1在L^1∩L^2是均勻連續(w.r.t L^2 norm)的, 得到FT1{f_n}是
科西列, 最後藉由L^2的完備性以及均勻連續唯一決定科西列的極限值
定義出FT2{f}(x)
IFT2{f}(x) := f€L^2上的反傅立葉轉換, L大文中的迂迴定義法, 藉由L^1∩L^2在L^2
的稠密性, 挑L^1∩L^2中收斂到f的函數列f_n, by Zygmund lemma 13.50
使得IFT1在L^1∩L^2是均勻連續(w.r.t L^2 norm)的, 得到IFT1{f_n}是
科西列, 最後藉由L^2的完備性以及均勻連續唯一決定科西列的極限值
定義出IFT2{f}(x)
《想證明》
FT2的反函數等於IFT2乘以某個常數
即反傅立葉轉換與傅立葉轉換的反函數只差一個常數c
pf: 引用V大說的Zygmund頁數, 我們有FT2{c*FT2{f}(-t)}(x) = f(x)
因此得到 c*FT2{f}(-x) = FT2^-1{f}(x)
接著只要證明FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x)即得證
回顧FT2{f}(x)的定義, 任選一串在L^1∩L^2的函數列f_n收斂到f
所以我們有 FT1{f_n}(x) → FT2{f}(x) in L^2 sense
當然就有 FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x)
對IFT1做一次, 也有 IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x) in L^2 sense
然後因為f_n€L^1, 所以我們有 FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x)
因此結合: (1) FT1{f_n}(-x) → FT2{f}(-x)
(2) IFT1{f_n}(x) → IFT2{f}(x)
(3) FT1{f_n}(-x) = IFT1{f_n}(x)
我們就有FT2{f}(-x) = IFT2{f}(x), 得證
《小結》
這樣的走法跟L大與V大說的應該就是一致的:
(1) 我想證的東西其實就是Zygmund在證"L^2傅立葉轉換是onto"時的小結果
(2) 像V大說的, 仍是需要從L^1∩L^2去逼近我要的結果
這樣看起來沒什麼問題...吧XD
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1641502525.A.C97.html
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 01/07/2022 04:59:43