※ 引述《yclinpa (一等士官長羅傑兔)》之銘言:
※ 引述《OSGrup (open將真的很可愛)》之銘言:
: 題目:設f(x)是[a,b]的非負可積分函數,
^^^^^^
我想這裡指的是 Riemann 可積函數。
若僅為 Lebesgue 可積,則原推文中 zhanguihan 網友給了反例。
: b
: 若有∫f(x)dx=0,試證明對任給ε>0,存在子區間[α,β]包含在[a,b],
: a
: 使得f(x)<ε,α≦x≦β
: proof: 假設 存在ε>0,且存在子區間[α,β]包含在[a,b]使得f(x)>ε,α≦x≦β
這裡的反證法假設有誤。
若原命題不成立,則對所有的子區間 [α,β] of [a,b],
皆存在一點 x_0 in [α,β] 滿足 f(x_0)≧ε。
以下不閱。
順著這個反敘述,則可證:對任意的有限分割 P for [a,b],
上和 U(f,P) 至少是 ε(b-a), <--- 當作練習。
故上積分至少是 ε(b-a)。
矛盾。
感謝提示,得到靈感。目前看書還沒有講上積分。我證明如下,
若原命題不成立,存在ε>0,對所有子區間[x_i,x_i+1] of [a,b],
皆存在一點ξ_i in [x_i,x_i+1] 滿足f(ξ_i)≧ε,
其中Δ:a=x_0<x_1<......<x_n=b ,
n n
積分和為 Σf(ξ_i)Δx_i ≧εΣΔx_i = ε(b-a)
i=1 i=1
b n
因此 ∫f(x)dx =limΣf(ξ_i)Δx_i≧ε(b-a) >0 (矛盾)
a n->oo
: ∵f(x)>ε,α≦x≦β
: β β
: ∴∫f(x)dx>∫εdx=ε(β-α)
: α α
: ∵f(x)≧0,對所有x屬於[a,b]
: b α β b
: ∴ ∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx + ∫f(x)dx ≧ε(β-α)>0 (矛盾)
: a a α β
: 證∫f(x)dx =明完畢。
: 我沒有很肯定我的寫法有沒有錯誤,請大家指教,謝謝
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必先靜修 而後致理
學富十車悟文德 抗懷萬古蘊聖心
則衛理 則達人
血融精誠見金甌 生仗曠遠圖育達
千秋銘傳 萬世崇光
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