推 Vulpix : 那你對於「訊號」的圖像又是什麼呢?是嚴格的週期函05/12 18:19
→ Vulpix : 數,是只在產生後、終止前有support,還是在support05/12 18:21
→ Vulpix : 邊緣迅速增減,又或者是在"support"外很小卻又無法05/12 18:22
→ Vulpix : 歸零(一絲擾動都沒有)的函數?05/12 18:22
→ Vulpix : 以一般的應用來說,雖然理論可以推到很外面,但他想05/12 18:24
→ Vulpix : 應用的範圍,可能就只有很小的一部分函數?如果要向05/12 18:24
→ Vulpix : 外推展就應該是去延拓吧。 05/12 18:25
嗨V大~你的這些問號也是我的問號
我就是覺得今天任何一份"頻譜洩漏"的資料
他就要先給你那些問號是什麼, 也就是假設
可是我卻花很多時間一個一個測試他的敘述到底是基於哪些問號
就像是給一堆"x^n"的微分是"n*x^(n-1)"但是一直沒給微分的定義
然後我就要花時間自己去猜出微分的定義...這不合理吧
→ Vulpix : (a) 此時FT不要用積分定義,用pv積分或延拓來做。05/12 18:27
→ Vulpix : 而不管你怎麼定義的,都相容於原本的積分定義。05/12 18:29
→ Vulpix : 定義早就已經不是那個積分了,所以不用管積分收05/12 18:29
→ Vulpix : 不收斂。05/12 18:30
如果wiki講明"頻譜我們採取FT, 而且是採用定義在分布理論上的FT"
或是你講的用PV, 我都可以接受並且後續再驗證
→ Vulpix : (b) 這沒什麼疑問,是這樣沒錯。所以可以在頻譜之間05/12 18:31
→ Vulpix : 度量其差異,至於要不要用metric或甚至要用哪個05/12 18:32
→ Vulpix : metric也還可以討論。05/12 18:32
→ Vulpix : (c) 這有什麼問題嗎?05/12 18:33
就是因為他用sine舉例才"看起來"有洩漏的感覺
那其他週期函數如果有洩漏是怎樣呢?
這個問題也就是因為沒有定義洩漏
--------------------------------------------------------------------
V大針對你回的這些我想問一下, 為什麼歷史上這些詞彙就不能像
數學定義那樣寫成:(以下有加一些猜的東西)
<Definition> We say a function x:R→R has spectral leakeage
if: (1) x is periodic with period p > 0
(2) F{x}(f) (FT defined by distribution theory) exists
(3) by x_n:= f(nT), n = 0~N-1, T = p/N
X_k:= FFT{x_n}
we have X_k != F{x}(k*N*T)
就是類似寫成這樣, 那我就可以驗證是否加入窗函數就會降低洩漏
但是工程上的詞彙我很少看到這種寫法, 所以我就會花一堆時間在猜定義
原因就是目前根本沒有一致定義嗎?
推 Vulpix : 我覺得洩漏本質就是window「不好」的程度。05/12 22:04
→ Vulpix : 那要給一個度量方法的話,我會覺得算window的標準差05/12 22:06
→ Vulpix : 就好。也就是∫(x-μ)^2 w(x)dx/∫w(x)dx,其中μ=05/12 22:08
→ Vulpix : ∫x w(x)dx/∫w(x)dx。但這只是一種度量方法,根據05/12 22:09
→ Vulpix : 情況也或許有其他更合適的作法。回頭說一下那個度量05/12 22:10
→ Vulpix : :這應該理解成w(x)有多好。所以數字越小就代表w(x) 05/12 22:11
→ Vulpix : 會造成越嚴重的洩漏。05/12 22:12
→ Vulpix : 至於為什麼大家總是只拿sin來說明。這是因為FT就告05/12 22:14
→ Vulpix : 訴你所有你有興趣的函數都可以用sin和cos這些函數疊05/12 22:15
→ Vulpix : 出來。那要說頻率外洩的時候就先拿函數的一個小成份05/12 22:15
→ Vulpix : 出來談就好。剩下的只要加上來,函數的行為也就可以05/12 22:17
→ Vulpix : 刻劃完畢了。05/12 22:17
推 Vulpix : 前面寫的度量方法,可能有人會不同意,覺得w也要平 05/12 22:21
→ Vulpix : 方一下才行,這也是一種常見的歧見。05/12 22:22
V大你意思是說, 如果加窗函數y(t)=x(t)*w(t), 如果w(t)是恆為1的常數函數
那y(t)就恆等於x(t), 因此x跟y的FT會一樣, 就毫無洩漏
但是如果今天w(t)不是常數函數, 假設是有緊緻支撐的函數
那自然x跟y的FT會不一樣, 這就是所謂的洩漏
如果我沒有誤會你的意思的話, 直接你寫的標準差當定義, 馬上就遇到問題:
x(t)如果是週期函數, FT就是一個泛函, 這樣標準差定義也會well-defined?
即便這個問題解決了, 這也就是我所謂"猜"的一種方式
更何況像是wiki的圖畫出了FT, DTFT, DFT來解釋頻譜洩漏 不僅僅只用了FT
感覺就是每個人對於頻譜洩漏可能有各自的定義
但是直覺上好像都在表達一個無法有一致定義的自然現象?
推 PPguest : 幫Z大QQ05/12 22:34
→ PPguest : spectral leakage在wiki上看起來就只是用文字敘述來05/12 22:40
→ PPguest : 定義,多少也會覺得有種不夠明確的感覺,但好像這樣就05/12 22:43
→ PPguest : 夠了,大概知道在表達什麼.看wiki的圖,感覺好像不一05/12 22:45
→ PPguest : 定一定要造一個度量方式才能說明,像wiki下面的圖用 05/12 22:49
→ PPguest : 圖片呈現的方式就很清楚.剛想到也許可以先研究一下05/12 22:51
→ PPguest : 這領域的人一般都用什麼方式來呈現結果或說明好壞,05/12 22:53
→ PPguest : 搞不好真的不需要用到嚴謹的定義或數學也能達到目標 05/12 22:55
嗨P大~對 我就是覺得不可能這幾百年只有我遇到這種數學與工程的銜接問題
所以都是以 "應該是對的 只是我證不出來/證錯" 繼續花時間找資料
但是幾年來做這些事 覺得好像越來越不是這樣
好像我在學界在乎跟使用的那套分析事務的邏輯在工程上不適用
但是上網查也沒有相關的討論...
於是才想說不再浪費時間了 問看看各位板友的意見
→ recorriendo : leakage是一個現象 無限長和有限長頻譜就會有差05/12 23:06
→ recorriendo : 不管訊號是哪一個class都會有 另外也不能化約成一05/12 23:07
→ recorriendo : 個數字 必須在side lobe寬度 noise floor強度之間做05/12 23:08
→ recorriendo : 取捨 有一好沒有兩好05/12 23:09
→ recorriendo : leakage可以理解成PSD的smoothing 重點是leakage會05/12 23:12
→ recorriendo : 不會smooth到達不到需要的解析度05/12 23:13
→ PPguest : 工程paper的部分,個人覺得看它如何宣稱實作有好結果05/12 23:16
→ PPguest : 要用數學嚴格證明實作方式真的能達到目標可能在簡單05/12 23:19
→ recorriendo : 更正 是 main lobe寬度 VS side lobe強度05/12 23:19
→ PPguest : 的問題上比較能做到;複雜的問題如果無法用某種證明05/12 23:21
→ PPguest : 方式來證明,那可能就退而求其次,用其他方式來說服你 05/12 23:24
→ PPguest : 這個實作方式是好的,例如說某個方法無法證明在任意05/12 23:25
→ PPguest : 函數上都行得通,但在那些經典的(在領域上重要的)函05/12 23:27
→ PPguest : 數上都有好的結果,這樣至少會有一定程度的信心 05/12 23:32
了解~舉例來說, 今天我在某個模型加入了一層f(x) = x^3, 然後實用效果變好了
paper中要寫到這一點時, 如果我能有一套完整的定義跟數學證明去說明, 那我就寫
如果沒有的話, 我就會寫我"認為"他在做什麼物理現象, 但是沒有定義跟證明
但是我遇到的敘述通常是:(舉例)
f(x)=x^3強化了訊號奇數頻的頻率, 因此辨識度變高
接著附上一些說明數學式子
然後我就非常不舒服
因為你有附數學式, 我就認為你這些式子100%在定義/說明你的敘述
因此我就從數學式或是敘述開始猜定義:
(1) 既然說奇數頻, 所以對方是用FS或是DFT, 就不是用FT或是DTFT了?
(2) 何謂強化? 增加Gain?
(3) 何謂辨識度變高?
諸如此類的猜測, paper沒寫, 我就從數學式撈
撈不到我就上網找
然後就導致這串葡萄越來越大串, 越來越模糊
→ recorriendo : 上面我講的還是需要修正... 重新講好了 05/12 23:42
→ recorriendo : 你window的main lobe寬度和side lobe強度決定了理想05/12 23:43
→ recorriendo : (無限信號)的PSD會怎麼被smoothed成有限信號估計出 05/12 23:45
→ recorriendo : 來的PSD 看應用決定這是否符合你對PSD的需要 05/12 23:48
→ recorriendo : 舉例 我需要解析兩個很靠近的頻率 那麼main lobe必 05/12 23:56
→ recorriendo : 需愈窄愈好 但是若我收的有很多雜訊那side lobe也不05/12 23:57
推 Kevintsaitsa: 我什麼都看不懂 但我大受震撼05/12 23:57
→ recorriendo : 能太強 main lobe太寬或side lobe太高 都會導致靠05/12 23:57
→ recorriendo : 近的兩個spectral peaks被smoothed一個 結論: 如何05/12 23:58
→ recorriendo : 選取window必須是你的應用 收到的SNR 以及noise性質05/12 23:59
→ recorriendo : 而定 (像Hamming window刻意壓低第一side lobe 但你05/13 00:00
→ recorriendo : 的雜訊根本不在第一side lobe 那就沒用 反而其他sid05/13 00:01
→ recorriendo : e lobe被Hamming提高了)05/13 00:02
→ recorriendo : 因為工程往往是要在各種目的與代價間權衡 所以實務05/13 00:15
→ recorriendo : 上當然不像數學的定義-定理證明那麼直接簡潔05/13 00:16
嗨r大, 就是依據不同的假設去選用不同的window就是了
當然假設錯誤就很可能導致效果不好 此時再換假設與window 這些我都可以接受
我在意的點是, 如果你上面這段推文放在paper中, 並且他有附數學推導
我就認為他有義務先講清楚這些專有名詞所選用的定義, 諸如:
(1) 訊號離散或是連續? 訊號週期嗎?
(2) 採用FT/DTFT/FS/DFT? 不收斂怎麼辦? 假設只討論收斂的訊號?
(3) main lobe, side lobe, PSD, smoothed, SNR...
以上這些的數學定義陳述要給出來我才能學習跟檢驗他有沒有證錯
但是大多數沒有附, 我就上網找, 而我這幾年的經驗也知道這些名詞
很多時候在不同假設下有不同版本
比如光是SNR就有一堆版本了, 離散/連續/隨機變數...PSD也是
而如果你這段推文只是在描述某個沒有一致定義的大概, 我完全接受, 腦中也有圖形
如果作者本人都沒寫數學式了, 我也不想花時間去研究上述(1)~(3)是什麼情況
也就是說, 我認為當作者用數學式在佐證自己的物理論述時
就有義務要給出明確定義
不過這個"認為"也是在學界養成的習慣, 如果在工程上不是這樣我也接受了
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 05/13/2022 01:34:07
→ recorriendo : 這裡嚴格的假設確實不重要呀 用到的就是 F(xw) =05/13 03:01
→ recorriendo : F(x)*F(w) 這對幾乎全部class都成立05/13 03:04
→ recorriendo : 應該說工程上最大的假設就是實際上會遇到的信號都會05/13 03:05
→ recorriendo : 讓此等號成立 數學的好處是萬一真的有天發現不成立05/13 03:06
→ recorriendo : 回頭找可能違反的條件時可幫助縮限範圍 而不是拿來05/13 03:07
→ recorriendo : 綁手綁腳05/13 03:09
→ recorriendo : 另外 有些東西對工程來說是基礎科目的東西 paper當05/13 03:10
→ recorriendo : 然不會再花篇幅定義 因為他們認為要嚴謹的東西去翻05/13 03:12
→ recorriendo : 教科書就有 就像數學paper不會定義L0,黎曼積分一樣05/13 03:13
→ recorriendo : 這我應該在你以前的發文裡講過了05/13 03:14
r大你的意思是說, 比如我在查頻譜洩漏他寫了x_n但是沒寫條件, 我就假設不管x_n是隨
機過程/實數列/週期/緊緻支撐, 都會符合接下來的敘述
而只要寫到頻譜, 則不管是FT, DTFT, FS, DFT都會對(而DFT後相乘再做反DFT會變成循環
conv, 這個如果下面都沒提, 就當作線性或是循環conv都對?)
而像是我遇到週期函數的FT不收斂, 要用泛函來看他, 也就假設作者當他是泛函
如果是這樣的話, 不就變成留下模糊的空間隨時可以解釋了...
舉例如果我在某篇文章說絕對值的微分是階梯函數, 沒特別講0點怎麼處理, 讀者就要自
行假設我可能採用別的微分定義, 或是我只在乎almost everywhere, 或是我加個local的
mollifier
總之經驗論來說, 從我的分析跟邏輯方式在被高微奠基後, 遇到什麼問題先問定義, 一半
以上的模糊就是因為定義問題才導致的, 然後這套方法不論跟教授/學生/板友討論數學都
沒問題, 甚至之前跟聖容教授聊碩論時, 我講題目後她馬上問我定義...但是這套應對換
到工程上的數學就讓我處處碰壁...
→ recorriendo : 數學:假設x,w是某某class則可推F(xw)=F(x)*F(w) 05/13 14:06
→ recorriendo : 工程:假設F(xw)=F(x)*F(w) 這代表真實看到的PSD上 05/13 14:11
→ recorriendo : 會出現什麼效果 05/13 14:11
→ recorriendo : 當然F,*的定義在FT, FS, DTFT, DFT不一樣 但也沒 05/13 14:33
→ recorriendo : 差那麼多 結論也都一樣就是頻率成分被分散了 況且 05/13 14:33
→ recorriendo : 真實世界裡的信號 你假設它無限長 或是假設compac 05/13 14:33
→ recorriendo : tly support但support很長 都可以 數學上有差別但 05/13 14:33
→ recorriendo : 是物理世界裡無法區分 所以固定一個定義是不必要的 05/13 14:33
→ recorriendo : 反而可讓讀者選擇自己習慣的定義解讀 05/13 14:33
→ recorriendo : 我昨晚說無限長因為那是我習慣的解讀方式 總之 這 05/13 15:11
→ recorriendo : 問題探討就是長信號被剪成短信號 頻譜會有什麼後果 05/13 15:11
→ recorriendo : *被windowed成 05/13 15:15
嗨r大, 了解你的意思了, 就是工程上會默認一個大概念比如你說的F(xw)=F(x)*F(w)
但是這個式子的成立以及性質, 確實會隨著假設不同而有異同
不過不重要, 因為實務設計上有這個概念就足夠了
反而定義的嚴格沒有操作空間反而失去了彈性(?
※ 編輯: znmkhxrw (1.164.120.161 臺灣), 05/13/2022 15:36:41