Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

[znmkhxrw (QQ)]

謝謝V大回應, 推文很難看, 我逐段以這色回文

※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 嗨r大, 最後問個實作與理論結合性的問題:
: 考慮 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 這個差分方程
: 使用雙向Z轉換的話, 可以找到三個h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分別是:
:
: h1_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      + 1.2*2^n*u_n
: h2_n =  0.8*(-1/2)^n*u_n      - 1.2*2^n*u_(-n-1)
: h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1)
:
: 其中u_n := 1 , n>=0
:            0 , n<0

這三個對應的 H 剛好有著互斥的 ROC。
而彼此之間的差，會是 (-1/2)^n 和 2^n 的線性組合。

令這三個h叫作h1_n, h2_n, h3_n
這是指(1) h1_n - h2_n = A*(-1/2)^n + B*2^n
還是指(2) (h1＊x)_n - (h2＊x)_n = A*(-1/2)^n + B*2^n, 其中A,B與x有關 --(●)
而依照後續回應, 假設您說的是(2)

所以原方程的一般解應該是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。
最後那項只是個特解，是我們希望要有某種性質的特解。
例如：當 n<0 時，y=0。

這裡說的原方程的一般解, 嚴格敘述是否如下:
令x_n固定, 則解空間 S:= {y_n│y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1)}
會滿足 S = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n│A,B€R}

若是的話, h是哪一個h? 還是任意一個都可以
也就是說, {A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n│A,B,a,b,c€R}
        = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h1＊x)_n│A,B€R} ((●)可立得此等號)
V大是這個意思嗎?

雖然解了三個 h 出來，但其實能用的 h 還有無限多個。
而這三個之所以特殊，就是因為他們各自對應一些邊界條件。

能用的h無限多個就是h1,h2,h3的線性組合?
可是因為這三個h的ROC不一樣, 把他做線性組合我怎麼覺得抖抖的XD
還是說做了線性組合後(比如h:=h1+h2+h3), 可以做時域摺積h＊x
但是就不能做z轉換了, 因為ROC互斥, 這就是我覺得抖的地方?

:
: 接著有兩個實作上的問題:
: (1) 單純考慮差分方程有無窮多組解(初始值決定)
:     我怎麼知道要怎麼設初始值, 才是我要的對應到的h_n的y_n?
:     例如取怎樣的x跟y的初始值則會有解y_n會等於(h1＊x)_n
:

如果 x 項數有限(compactly supported)，那任何一個 h 都無所謂。
而如果 x 沒有 compact support 的話，就得看 X 的 ROC 了。
的確如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。
但問題也在這裡，x_n = 1 這個 1 數列，他的 X 是處處不收斂的。
而這個數列好像也在你有興趣的範圍裡面（BI），所以總有打交道的機會。

我的原問是"如何選定初始值", 而您回應任何一個h都無所謂
是不是因為: 若x有緊緻支撐
            則拿h1,h2,h3的任意線性組合當h所得到的y_n := (h＊x)_n
              都會是相同的y_n?
            即{y_n│((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n, for any a,b,c}的元素個數只有1
這結論好像怪怪的...我應該是有誤會你"任何一個h都無所謂"的意思了?
而且即便是對的, 跟原問題說的"如何選定初始值"存在怎樣的關係呢?

隨便選初始值 => 解y_n = A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n
                for some A,B,a,b,c€R

然後我就看不出來當x有緊緻支撐時, ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n這項為什麼會一樣

: (2) 假設(1)的問題完美解決, 即針對我要的h我都可以找到我要的初始值
:     那選哪個h重要嗎? 因為這三個h的H(z)都一樣(只是不同ROC)
:     所以頻率響應 H(exp(iw))也是一樣的(甚至相位都一樣),
:     那我隨便選一個h來當filter不就相同效果?

畢竟這些 h 其實是這樣找出來的：脈衝δ(0,n)輸入的響應。
所以 h 自然與 x 無關。

而任何一個 x 都可以看成是 δ＊x。
所以 y_p 也自然就會是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差個齊次解。

上面這兩段給我一種"好像理解了什麼"的感覺, 但是又說不上來XD
如果我先給了h, 那令x_n=δ(0,n), 自然得到 h_n = (h＊x)_n
而x_n = (δ＊x)_n 能類推 y_p_n = (h＊x)_n, 就只能說略懂略懂...

上述過程與微分方程中，藉由源項δ(x-x')來找出響應 G(x,x') 的方式相同。
所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困難，
在這裡也都能看到離散的版本。

沒學過連續型Green's function, 目前難以做類推QQ

另外V大這大段的回應, 針對我原問"隨便選一個h來當filter不就相同效果"的結果是yes?
也就是說, 今天不管我怎麼選h = a*h1+b*h2+c*h3, 我都可以做y_n = (h＊x)_n
其中y_n會滿足差分方程(因此是解)

但是這樣又很奇怪, 因為h1,h2,h3有互斥ROC, 一旦做了線性組合, 只要其中兩個係數
不是0, 那就不能做z轉換, 因此論及頻率響應就毫無意義, 因為不收斂

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推 bluepal     : 原來還有前面討論唷
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推 Vulpix      : 不是三個h的任意線性組合啦XD係數a,b,c總和要是1。
→ Vulpix      : 不過的確在z轉換這件事上，這些線性組合不好用。
→ Vulpix      : 而且我要提的是可以加上任意的A項和B項。
相加等於1感覺舒服多了, 我再多多體會一下

另外關於加上任意的A項與B項的回應, 想請教一個"看法"

線性ODE或是單/雙向差分方程, 都有下面相似的結論:
(1) 不論齊次或是非齊次, 給定初始值則唯一解
(2) 齊次解空間可寫成待定係數的基解的線性組合, 係數由初始值決定
(3) 非齊次解空間可寫成齊次解加上特解, 因此結合(2)的話, 非齊次解就是待定係數的
基解的線性組合加上特解, 即V大說的A,B加上摺積特解的形式

我好奇的是, 找不到一個說服自己的看法來解釋"為什麼特解跟初始值無關"

雖然我們可以任意拿非零的A,B說他是特解, 但是我們知道"最去蕪存菁"的特解是A=B=0,
只保留摺積項

目前我只能以"線性好棒棒 所以剛好對任何非齊次方程的非齊次項x, 都存在與初始值無
關的特解"

想請問V大有什麼看法可以分享嗎, 謝謝!
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 09/09/2022 05:51:14
推 Vulpix      : 以Δy=x來說，脈衝響應h是u、u-1/2、u-1這些。先不
→ Vulpix      : 說u這個如同特殊函數一樣的表達方式，你覺得哪一個
→ Vulpix      : 看起來「最乾淨」？他們都只有兩個函數值、都在0和
→ Vulpix      : -1之間跳了一下，其中u-1/2的值看起來還很對稱。提
→ Vulpix      : 這個是在說我們應該公平看待所有的解，大家都是特
→ Vulpix      : 解，全部一起看就叫通解。還是你覺得每個解都是特
→ Vulpix      : 別的，但有的解比他解更特別XD
→ Vulpix      : 既然大家都是特解，那在通解的公式裡面出現的特解
→ Vulpix      : 就沒必要與初始條件有關了。
→ Vulpix      : 總之，沒有什麼最去蕪存菁的項。「蕪」通常都是因
→ Vulpix      : 為邊界條件才遭廢棄。
→ Vulpix      : 以A、B的問題來說，即使我們選了h1（左側為0），只
→ Vulpix      : 要A非零就會導致左側的y發散。雖然這可能與應用有
→ Vulpix      : 衝突，但也不是什麼無法排除的問題。
嗨V大, 通解 = 與初始值相關的齊次解線性組合 + 與初始值無關的特解, 然後依照不同
的邊界條件會得到去掉某些項的結果(去蕪), 這些我沒有問題!

我的疑問在於最初怎麼"猜到"有這樣的形式可以分解, 尤其是可以分解出後者--與初始值
無關的特解

我回文的問題是, 目前我給自己的說法不外乎是這些:
1. 線性好棒棒 所以可以這樣很正常
2. 以前數學家很厲害, 剛好發現可以這樣

所以才想問你們比較了解這類問題的人, 對於"可以分解成這樣"有沒有什麼私人的看法或
是歷史可以分享 謝謝~
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.240.51 臺灣), 09/09/2022 22:41:42
推 Vulpix      : 線性真的很棒啊。這就很基礎的線性代數而已。
→ Vulpix      : 不管是非齊次ODE、非齊次差分方程、非齊次差分方程
→ Vulpix      : 甚至非齊次線性方程（多元一次聯立方程組），都一樣
→ Vulpix      : 會遇到啊。最基本的概念就是最後那個：Ax=b。
→ Vulpix      : 只要 A 有不單純的 null space，那解就不唯一，就會
→ Vulpix      : 是一條線、一個平面、一個三維空間等等。
推 Vulpix      : https://i.imgur.com/adeMtEz.jpg  圖中的A、C、G
→ Vulpix      : 這已經不是用剛好可以解釋的了，這是數學的基本規律
剛好V大你用Ax=b當例子, 我就是從這個方程為基準才會詢問上面說的"看法"問題:

考慮Ax=b的解空間S(假設非空)
任取S中的其中一個元素p, 在線代我們就稱p是Ax=b的一個特解

而接著可以證明任取Ax=b的其中一個解q, 則p-q是Ax=0的解, 因此才證得Ax=b的解空間可
以寫成Ax=0的解空間加上一開始任取的固定特解p

我就是從上述為出發點來看待差分方程, 一樣令y_p是某個非齊次差分方程(因此x_n固定)
解空間的一個解, 則一樣可以推出此非齊次差分方程的解空間是齊次差分方程的解空間加
上y_p, 而初始值就是決定齊次差分方程的解的係數

接著就是問題了, y_p是我仿造Ax=b的邏輯下, 固定x_n後任取的一個解, 但是不同點在於
, y_p在ODE或是差分方程中, 可以"去蕪存菁"成一個可以變動x_n以及跟初始值無關的表
達式, 我的疑問就是在於"哇好神奇 怎麼可以這樣, 感覺比Ax=b多出更強大的性質耶"
(另開個小補充, 我們知道Ax=b有解等價於AA^+b=b, 也就是說A^+b的地位給我一種感覺是
相當於上述的y_p..., 如果確實地位是一樣的話, 那我的問題或許就是在於哇, 為什麼知
道會存在這個特殊的特解跟初始值無關, 只跟非齊次項b做變動, 即p = A^+b <=> y_p =
(h conv x))

推 bluepal     : 我才剛回來還沒看完第一篇事情又有新的發展了XDDD
→ bluepal     : 可是我應該能試著回答一下z大問題
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.240.51 臺灣), 09/09/2022 23:58:55
→ bluepal     : 那個"為什麼特解和初始條件無關只和決定其次解有關"
→ bluepal     : 的部分 可是我想賺P幣所以讓我回一下XDDD
→ bluepal     : 天哪 要回REPO
→ znmkhxrw    : 嗨b大 我會覺得"神奇"完全來自於跟Ax=b的比較 如同
→ znmkhxrw    : 上面我回V大那個脈絡 給你參考 謝謝
推 Vulpix      : 我的感覺是你還是覺得「有一個解比別人更平等」，
→ Vulpix      : 可是我覺得解都生而自由平等……
推 Vulpix      : 至於你提到的pseudo inverse蠻有趣的，我再深入看看
應該說我也覺得都是平等, 反而是非齊次差分方程的那個"跟初始值無關的特解"讓我覺得
好不平等, 為什麼能分離出那麼漂亮的形式, 而且這形式又跟初始值無關

因為以我上述Ax=b為思考出發點的話(不考慮偽逆矩陣造的那個解), 特解只是固定了非齊
次項後, 從非齊次解空間取出的任何一個元素而已, 取誰地位應該都一樣

但現在神奇的是 "Ax=b中的A^+b" 與 "差分方程中的h conv x", 他們都是地位比其他特
解高一等的特解, 尤其是後者, 這個特殊的特解與初始值無關(Ax=b這種型的無法加入初
始值這個變因, 嚴格來說跟非齊次差分方程也難以完全類比XD)

小結來說, 我這些沒定義的疑惑以及覺得神奇的地方很主觀, 可能只有我覺得這樣, 所以
我就多聽聽別人的想法看有沒有機會融合成說服自己的說法

謝謝V大關於這系列的分享~感恩

推 bluepal     : 剛PO完我看一下
→ bluepal     : 對啊就是那個莫名其妙的不對稱性其實是流程
→ bluepal     : 兩種解其實還是平等的....
→ bluepal     : 你把通過零有各種linear properties的齊次解做系統
→ bluepal     : 性的研究一定會比較方便而且比較多genreal的性質啊
→ bluepal     : 而且說不定流程是反過來先歸納出有各種性質再進一步
→ bluepal     : 做研究 那比較突出特別的就會比較容易被看見歸納
推 bluepal     : 不管inverse還是psuedo inverse都是建立在有解然後
→ bluepal     : 他唯一的case啊 所以null space就{0}沒法跟初始條件
→ bluepal     : 做連結
推 bluepal     : 補充一下如果A是矩陣 Ax=b 對應的初始條件就是
→ bluepal     : 給定了所有free variables的值 (在Asingular情況
→ bluepal     : 且b在R(A)的case) 指定後會有唯一解x
※ 編輯: znmkhxrw (1.173.176.60 臺灣), 09/10/2022 22:57:55
推 bluepal     : 她就唯一解狀況哪來初始值給你選
→ bluepal     : 應該先分討論在 有/無 解狀況再分唯一解和無限多吧
→ bluepal     : 現下討論都是有解時
→ bluepal     : 你說的psuedo case是在唯一解時 沒有對應初始條件
→ bluepal     : 在有無限多解(超過一個解)的時候才會再去討論
→ bluepal     : 不同的初始條件有不同的對應解啊
→ bluepal     : (1)找一個解 分兩部1.湊特解2.找齊次解
→ bluepal     : (2)才來考慮初始條件 (但是是在超過一個解的時候)
→ bluepal     : h conv x 是直接湊解的case 單邊有考慮初始條件
→ bluepal     : 雙邊沒有唯一解 也沒考慮初始條件
→ bluepal     : 考慮初始條件進去當然就是唯一解 跟找inverse一樣了
→ bluepal     : Ax=b 的初始條件就free variables啊
→ bluepal     : 你用column form展開變向量看就跟函數一樣...
→ bluepal     : 可以說一模一樣...
Ax=b有解 <=> AA^+b = b
這個沒錯吧!?
所以A^+b只是一個解, 並非Ax=b的唯一解

然後你說自由變數x就是初始值, 這個給我一個類比的方向, 我再思考一下, 謝謝
※ 編輯: znmkhxrw (1.173.176.60 臺灣), 09/10/2022 23:21:29
推 bluepal     : sorry 忘記有不是full rank的case
→ bluepal     : 那她還是歸類在湊一個特解 加上齊次解的底下
→ bluepal     : 她可以做成項公式一樣湊出一個特解原因其實跟A^(-1)
→ bluepal     : 的原因一樣,只是考慮的空間比較大但有足夠basis
→ bluepal     : 而b落到她basis展開的空間,就像從比較高維度看低維
→ bluepal     : 度. 低維度當中也是像先前一樣有無限多解情形
→ bluepal     : 因為她column數目比維度多
推 bluepal     : sorry發現回的有點派在不同帳號和版人格切互不順(?)
→ bluepal     : 誠心下跪 以後在這裡我都會溫柔心善(?)
不會啦! 謝謝你的分享, 我都是濾出可能有用的訊息加以融合, 如果有情緒性或是不相干
的自動忽略XD 反正是來討論問題的 不會在意沒幫助的訊息

倒是我在math版那麼久第一次看見你ID, 像是V, L, r大那些板友都是幫忙回答問題的老
朋友了XDD
※ 編輯: znmkhxrw (42.74.13.6 臺灣), 09/11/2022 00:30:59
推 bluepal     : 賺P幣繳罰金～