[線代] 緊緻支撐數列延拓至全空間(p幣答謝)

[znmkhxrw (QQ)]

請教一下如題問題

我先敘述定義, 再來敘述已證的東西與問題, 後面再給來源
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【定義】

V:={x_n:Z→F}, Z是整數, F是實數或是複數, 即V是所有定義在整數上的實/複數列

W:={x€V│x有緊緻支撐}, 即W是收集V中所有有緊緻支撐的數列

W^c:= V-W, 即W的補集, 收集那些沒有緊緻支撐的數列

D_d:V→V 為延遲d點的函數 D_d({x_n}) := {x_(n-d)}, d€Z, 大括號代表數列的意思

f:V→V具有時間不變性為 := f。D_d(x) = D_d。f(x), for any x€V and d€Z

f:V→V是線性非時變系統(LTI)為 := f 是線性變換並且具有時間不變性

(x＊y)_n := Σ_{k=-∞~∞} x_(n-k)*y_k, for all x,y€V with well-defined limit

<Note> 摺積的定義涉及到雙極限定義
       而且如果要用" x＊y=y＊x "就必須要更加假設絕對收斂
       因此為了嚴格定義, x＊y是well-defined定義為:
       (1) 雙極限是嚴格的雙向定義, 並非科西主值那種一個變數的
       (2) 絕對收斂
       另外再注意一下, x,y如果其中一個在W裡, 那x＊y就一定well-defined

【已知與問題】

令a_1~a_N€F, a_N != 0

令{a_n} := 1  , n=0
           a_i, n=1~N
           0  , else
  (即{a_n}是把原本a_1~a_N補上a_0:=1後, 其他令為0)

令T:V→V by T(x):=a＊x, 其中＊是摺積

令f:V→V 為線性變換並滿足 T。f(x) = x for all x€V

則可證得:

(1) f是線性變換(2022/10/06/16:57移到假設)

(2) 限制對應域後(f:V→R(f)), f是可逆且f^-1 = T|_R(f)
    其中 T|_R(f) 為 T限制在range of f的限制函數

(3) V = N(T)⊕R(f), 其中dim(N(T)) = N
    其中N(T)為T的null space

(4) 若更加假設f具有時間不變性(這要是假設的, 因為原條件推不出來)
    則存在唯一的h€V使得 f(x) = h＊x for all x€W
    (因此配合條件可以得到 a＊h = δ, 可以得到跟Z轉換一樣的結果
     不過跟問題沒什麼關係)

想證明或是加條件後證明:

For all x€W^c with h＊x well-defined
We have f(x) = h＊x

也就是說, 想證明那些沒有緊緻支撐但是h＊x well-defined的x
會讓f(x)就是h＊x

也就是說, 原本f(x) = h＊x只成立在x€W
我想要證明說那些沒有緊緻支撐但是會讓摺積良好定義的x也是能寫成這種形式


【來源與想法】

我想要用線代嚴格劃分出差方分程(雙向遞迴關係式)的解
方程為: y_n + a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y_(n-N) = x_n
即對於任何x€V, 想知道解空間S_x:= {y€V│T(y) = x}
其中T(x):=a＊x, a_n如同【已知與問題】定義那樣

而已證得: (1) S_x 非空 for all x€V, 即 T onto
          (2) S_x = N(T) + y_p, 其中任挑y_p€S_x都能成立

現在好奇說對於任何一個x€V, 既然都能找到特解y_p的話
那我們考慮所有具有" f(x)€S_x "的函數f:V→V

首先在解之前, 藉由選擇函數可知這種函數一定存在
再來由" f(x)€S_x "會直接證得如同【已知與問題】的結果, 重複如下:

(1) f是線性變換
(2) 限制對應域後(f:V→R(f)), f是可逆且f^-1 = T|_R(f)
    其中 T|_R(f) 為 T限制在range of f的限制函數
(3) V = N(T)⊕R(f), 其中dim(N(T)) = N
    其中N(T)為T的null space
(4) 若更加假設f具有時間不變性(這要是假設的, 因為原條件推不出來)
    則存在唯一的h€V使得 f(x) = h＊x for all x€W
    (因此配合條件可以得到 a＊h = δ, 不過跟問題沒什麼關係)

也就是說, 我們原本要找出所有滿足" f(x)€S_x "的函數
結果這些函數自動是線性的, 並且更加假設LTI後, 就能知道在x€W時f(x)的長相 
並且把數列空間 V 拆分成線性獨立的直和 V = N(T)⊕R(f)

至此已經9成解釋了之前跟眾多板友討論" 雙向遞迴的解問題 "相關問題:
(a) 為什麼特解長成h＊x這樣, 可以其他的嗎? h唯一嗎?
(b) 感覺特解(非齊次解)跟齊次解無關, 即怎麼知道特解可以去蕪存菁
    因為任何一個特解可以故意參雜齊次解, 但是h＊x這種形式感覺就沒參雜

以上(a),(b)已經由線代嚴格定義與解決
剩下1成的部分就是如【已知與問題】的問題所述
今天如果我的x如果沒有緊緻支撐但是會讓h＊x良好定義
那f(x)會等於h＊x嗎?

以下附幾個想法:

(1) 由 #1ZEM9Ut1 所得到的答案表示
    今天如果單純給 f:V→V 是LTI
    雖然我們可推得" 存在唯一h€V使得 f(x) = h＊x for any x€W "
    但是沒辦法獲得f(x) = h＊x for any x€V

    例子如: #1ZEM9Ut1 說存在非空子空間S使得 V=W⊕S
            則任給h€W^c
            則只要定義f(x):= h＊x_w, 其中 x = x_w+x_s
            我們可以檢驗f是LTI但是不可能" f(x) = h＊x for any x€V "
            因為f(x) = 0 for all x€S

    但是今天我的問題條件更多, 所以我才覺得應該有機會

(2) 我會想考慮這個問題是因為訊號處理中用正反Z轉換解得h後,
    就說y = h＊x就是差分方程的解, x可以容許€W^c, 只要摺積收斂
    但是到目前線代的推論並沒有辦法支持這個敘述
    因此我才想要知道是否是對的

(3) 我猜需要對V做假設, 比如取比V小的空間造norm, inner prodct, 或是l^p空間
    但是這是我不樂見的, 因為當造了一個有拓樸性質的子空間S
    那從一開始的線代推論都要重新推導, 並且不一定成立(比如N(T)是N維是建立在V)

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這個問題解決後我對於這系列問題算是一個階段的close了

再請各位板友幫忙~謝謝

會視回答的幫助性給予P幣感謝~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1664905378.A.932.html
→ hwanger     : https://imgur.com/a/0VY9VMl
謝謝h大回應, 我照圖片段落回應過去:
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(1) 你說 x＊y = y＊x 只要一者收斂即可成立, 我剛剛寫了一下確實是的, 但限於逐點
    如果一者是均勻收斂的話, 也沒有辦法保證讓另一個也是均勻收斂
    (我證明過程中的index變換發現會跟n有關)

    另外你接著說如果真要考慮某個V的子空間與norm讓裡面的x＊y都well-defined
    比較推薦l^2 norm而不是l^1 norm(絕對收斂)
    我猜是因為兩個l^2空間的x＊y都well-defined, 但是若是l^1就不會吧!?
    我知道x€l^1, y€l^∞才可以讓x＊y€l^1, 兩個l^1應該就不會了
    以上是我猜測你說l^2比較好的原因

    不過我通篇是為了想跟工程數學上LTI系統的推導假設與邏輯做對應
    他們很常用x€l^∞與h€l^1然後考慮x＊h(BIBO)
    所以即使我最後要限縮空間跟加norm, 我暫時不會往l^2方向限制

(2) 你的Remark1:
    你說我【已知與問題】-(1)是錯的, 並且說是"linear algebra 101"的基本概念
    確實最初我推導的過程中有假設f是線性的, 之後發現f就是T的限制函數的反函數
    而f自然就是線性的, 因此我就把f是線性拔掉

    經由你說是錯的我再檢視一遍, 在f沒有線性的假設下, R(f)不一定是子空間
    因此線性函數 T:R(f)→V 即便是可逆的也不足以說明什麼, 確實要增強假設

(3) 你的Remark2:
    條件增加了f是線性的, 所以沒有Remark2的顧慮

(4) 你的Remark3:
    我不懂為什麼當f是LTI(你文中"commute with shift")時並且滿足T。f=id
    就能推得 T = f = id (然後當然整個矛盾)

    這部分的證明可以提供嗎?
    我很在意這個矛盾, 如果真的能夠推導這出這個結果, 代表哪個假設有嚴重問題
    因為我已經把條件壓到最少了, 並且目前可以推論出Vulpix大之前說的:

    差分方程的解 y = c_1*y_1 +... +c_N*y_N + h＊x
    其中任兩個h差異只會是y_1~y_N的線性組合

    也就是說, 一切的推論都對的上, 只差我這篇所問的問題
    因此如果推得 T = f = id, 那事情就大條了...

(5) 最後一段你說:
    (a) 符號令人困困惑:
        我就是避免模稜兩可的空間才把符號的定義都清楚打出來, 有重複的地方嗎?

    (b) 使用花俏的術語來描述簡單的概念:
        這些術語都不是我創的阿, 就是討論這個主題上都會用到的術語

    (c) 我可能不會看你的回應:
        我會阿XDDD 我就是想得到答案
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/06/2022 17:16:51
推 Vulpix      : commute with shift 應該是單指 TI。
是的, LTI=L+TI
目前文中的f就是假設LTI, 但是h大說這樣會得到T=f=id, 我好不希望這件事會發生...等
他給證明我再看看

→ Vulpix      : 這邊 shift 和可稱為移位算子，差分算子則是移位和
→ Vulpix      :  1 的差。
→ Vulpix      : 「和」是多打的。
→ hwanger     : https://imgur.com/a/04NEgcC
→ hwanger     : 抱歉第三張圖有個地方想錯 如果R(f)是一個子空間 則
→ hwanger     : 可推回f是線性的 我一樣犯了linear algebra 101的
→ hwanger     : 錯
嗨h大~我一樣逐段回:

(1) 單就我那句話說有問題我可以理解, 最初我打那句話是因為x＊y跟y＊x給我一種
    交換順序的感覺, 因此我直覺下了"絕對收斂"確保乘加次序不會影響收斂值
    而實際上寫了之後確實不用

    另外你關於子空間跟norm選取的建議我會參考, 謝謝

(2) 第二段、第三段跟你上面補推的我一次整理如下:

    《一》令V為一向量空間, T,f:V→V是線性變換
          若T。f = id:V→V (即f有左反函數)
          則 (a) R(f)是V的子空間
             (b) f:V→R(f) 是可逆並且f^-1 = T
             (c) V=N(T)⊕R(f)

    《二》令V為一向量空間, T:V→V是線性變換, f:V→V為一函數
          若T。f = id:V→V (即f有左反函數)
          且R(f)是V的子空間
          則 (a) f是線性變換
             (b) f:V→R(f) 是可逆並且f^-1 = T
             (c) V=N(T)⊕R(f)

    文中你強調一個線性變換的左或右反函數不一定線性, 這個我知道
    今天我的case不是如此, 《一》的話T,f的線性都是假設, 所以不談
    《二》的話是某個函數f的左反函數已經是T|_R(f), 而且f已經確定可逆
    因此f的反函數就是T|_R(f), 而如果T|_R(f)可以確定是線性的, 那自然
    可以推得f^-1跟f都是線性的, 因此只要加入R(f)這個條件就可以了

    如果《一》或是《二》有問題再請您提出, 謝謝

(3) 關於proposition 1看起來確實會導致T=f=id...這我再思考原條件怎麼修正

(4) 大括號一般都是表達集合, 但是有時候我要強調"x_n"不是for any n€Z
    而是整串數列x_n€V時, 我就採用有些書的寫法對數列加上大括號代表整串
    這邊如果讓你誤會不好意思

(5) compact support只是讓我來形容數列在有限項外是0
    你不舒服的點是我要在整數空間Z上定義拓樸後我才能使用"compact"這個詞?

    time invariant是我在訊號處理看到的名詞所以沿用
    而今天這問題是我想從線代切入, 所以自然把這名詞用來形容我的問題

    另外有個誤會是, 這系列的問題一開始跟線代毫無關係
    是我想要找出差分方程、Z轉換、初始值、LTI...這些的關聯性
    而最後決定從線代的觀點出發最乾淨, 最後需要什麼條件再加

    因此如果你認為只是線代問題為什麼我要引入這些名詞, 我的原因就是如上
    我只是把這些問題轉換成線代模型而已

(6) 我記得你的id, 回覆我問題的板友我也都有回應, 有印象的好像是我發文問
    等號的定義那篇時, 你有回覆我關於範疇論還是邏輯學方面的見解, 然後你好像
    有跟其他板友在某篇下面爭論, 之後有寄信跟我說如果有問題私下寄信給你就好
    我也有回應說如果有問題會再詢問

    但是那系列的討論不光是你, 很多板友給我的參考方向多半是我完全沒碰觸過的
    領域, 因此如果我判斷跟我的現有知識相差甚遠的說明, 我就會先歸檔而已
    等未來有一天遇到再閱讀, 畢竟這些嚴謹性東西只是興趣而已, 不在學界了

    如果你是指這個沒有後續回應, 那跟你說聲不好意思

推 Vulpix      : 沒有回應這事，如果沒有急迫性的話，就放寬心啦。
→ Vulpix      : 你看，原po寄信問我的東西我也好多篇沒回捏XD
我怎麼記得你都有回 很佛心^^
還是說剛剛寄的那封準備....

發個牢騷, 我一直覺得這些東西"很基本", 我有問題的諸如:
(1) 特解只有h＊x嗎?
(2) 不收斂的h＊x怎麼辦?
...
之類的東西, 我認為一定早就有人去嚴格的解決了(比如限制空間)
但是我都google不到, 跟人討論後得到的答案也並不是說哪本書有講之類的
於是就會有一種矛盾的感覺:

如果很簡單, 那應該有完整的答案可以找到(比如有限制空間, 其定理也都敘述詳細)
如果不簡單, 這些數學發展好幾百年了, 怎麼可能需要我&其他人討論來定出來

總地說來, 在學時期學的數學都不會讓我有這些矛盾的想法, 書都找得到
找不到的google一下, math/stackoverflow都會有

但是這些從工程數學衍生的問題, 我問工程的朋友他們都不在意嚴謹性
比如線性變換如果在某些點不良好定義直接忽略還是當他線性變換
不收斂的點就跳過, 不理他

而要問數學的朋友的話, 我就必須先做完翻譯的工作
比如wiki上說的LTI等價於摺積, 我的問題就是並非所有x都能讓摺積收斂
數學的朋友看到這個不well-deined後就說wiki這錯, 我也知道錯...
但是最後就剩我自己在"如何給條件讓他變對"

當然光是給條件讓某個性質變well-defined很簡單, 但是還要去證明這個條件
對於其他的性質也適用...
我就覺得很奇怪, 這些問題應該早就有答案了應該不是我來做吧...
因為不在學界, 所以這些嚴謹性的東西我要取個平衡點, 並非每個定理我都要親自證過
我只求有嚴格的敘述解決我的疑惑而已, 等有時間再自己證

只能說我的感覺是在學問的數學問題跟在工作問的數學問題, 差異很大...
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/07/2022 03:30:23
推 Vulpix      : 我有一個看了很久的問題，V應該是N(f)⊕R(f)吧？
→ Vulpix      : 這邊N是ker funtor、R是im funtor。
V=N(T)⊕R(f)應該沒錯耶
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<thm>
令T:A->B為一線性變換, A,B為向量空間, S為A的子空間
則 A=N(T)⊕S <=> 存在可逆U:S->R(T)使得U(x)=T(x)
----------
今天T=T, A=B=V, S=R(f), R(T)=V (因為T onto), U=T|_S可 逆
因此V=N(T)⊕S

推 Vulpix      : 你thm的V哪來的？是A吧。然後S iso. to R(T)不就更
V沒改到, 我就是原本打V怕跟這篇的V重複才改成A

→ Vulpix      : 說明S的位置可以用R(T)取代？
→ Vulpix      : 那就 V=N(T)⊕R(T) 了啊。你這邊符號真的太亂了。
iso不能直接取代直和的成分吧!?
R^2 = x軸 ⊕ y軸, x軸 iso to y軸, 取代後就錯了

推 Vulpix      : 兩根數線直和沒毛病啊？
我意思是如果iso能取代直和的話, R^2 = x軸 ⊕ y軸, 其中 x軸 iso to y軸, 因此R^2
= y軸 ⊕ y軸就矛盾

→ hwanger     : https://imgur.com/a/c2NivDe
首先謝謝你在數學部分的想法
再來是非數學的敘述部分, 我只是針對你第一篇的回應做猜測跟解釋, 結果在你看來變成
糾結跟在乎, 因此你這篇的非數學部分我就不回應了(關於等號那個我記錯了 是這篇 #1Y
w-BdDR 關於構造式的討論), 總覺得已經演變到我誤會你意思,
你也誤會我意思, 然後在乎不在乎什麼的...
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/07/2022 11:41:20
→ hwanger     : 你依你的主觀感受認知即可
→ cuylerLin   : LMAO, you again? If you let what other people sa
→ cuylerLin   : y easily get to you, please don't bother using a
→ cuylerLin   : ny social media or online forums, which, apparen
→ cuylerLin   : tly, are not good for your mental health...