[線代] 離散摺積算子的值域直和

[znmkhxrw (QQ)]

請教一個離散摺積算子的問題, 定義與敘述如下:
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令 Z是整數集合
   F=R or C, R是實數集合, C是複數集合
   W:={x_n:Z→F│x_n has compact support}
   δ_n是delta數列, 只在n=0為1, 其他為0
   a€W, T:W→W defined by T(x):=a＊x, ＊是摺積

則 (1) T is onto <=> a_n = c*δ_(n-d) for some c!=0 and d€Z, for all n€Z
   (2) If T isn't onto
       Find explicit subpsace S s.t. W = T(W)⊕S

P.S. (1)自己已證
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用語言描述一下這個問題:

(a) W是收集所有只有有限項有值的數列
(b) 任給a€W, 都可以定義摺積算子T(x):=a＊x, 而且值都在W內, 因此T:W→W良好定義

而已經證出T打滿整個W的話 等價於 a只能在某一點有非零值, 即a_n=c*δ_(n-d), c!=0
因此, 我想問的是當不能打滿時, 能不能把W寫成值域T(W)與某個顯式S的直和

原本朝著想要找出T(W)的顯式後, 能給我一些S的靈感, 但是寫不出
目前我只證出如果T不是onto, 則T一定打不到delta函數
即 If T isn't onto
   Then c*δ_(n-d) not in T(W) for all c!=0 and d€Z

再請板友幫忙, 謝謝！

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推 alan23273850: 好奇寫出這個要幹嘛。而且我想知道給定母空間 V 和
→ alan23273850: 子空間 W，一定存在子空間 W' 使得 V = W 直和 W'
→ alan23273850: 嗎？
嗨a大, 第二個問題是肯定的, 見#1ZEM9Ut1, 只是這個空間是選擇公設下的存在解
而我會想要具體的形式是因為我在推導某個問題時, 已經得到了:(簡化如下)

V是向量空間, W是其無窮維子空間
f: W→f(W), 線性可逆, f(W)包含但不等於W (如果W是有限維的話不可能發生這情形)
因此f的反函數g如果限制在W的話, 會有W包含但不等於g(W)
也就是說, g限制在W上打不滿W, 我想要知道是那哪些讓g打不到

從另外一個角度來看這問題的話, 就是f感覺擴大了W, 也可以從f擴大了哪些向量做切入
而因為可逆的關係, 如果我寫出W=g(W)⊕S的話,自然就能得到f(W)擴大的部分了
因此我的發文才使用W=g(W)⊕S這個形式來詢問
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/18/2022 00:12:01