什麼是位能 為何位能只能被共享

[ERT312 (312)]

位能為何不能被單一粒子具有，也不可分割，只能被共享
我們由牛頓運動定律出發，到功能定理，再到力學能守恆
可以看到位能是如何出現(被定義)的，以及位能有什麼性質

約定:
以下我們考慮的皆是牛頓物理的質點(古典粒子)，具有精確的位置與動量
沒有體積只有質量，所以沒有自轉與內部結構
兩密度均勻的星球，用兩次殼層定理後可視為兩個點粒子之間的引力
(萬物皆粒子，牛頓認為光也是粒子)
所有粒子的位置函數 x，以及其導函數 x'=v，二階導函數 x"=a，
皆是時間的的向量值函數(R的子集 → R^3)，prime是指對時間微分
兩向量相乘都是指內積，例如動能 1/2 mv^2 的v^2是速度的內積
亦即 v^2 = |v|^2，兩邊微分可得
va+av=2|v||v|' => a(v/|v|)=|v|'
所以加速度在路徑切線方向的投影大小(切線加速度大小)=|v|'
又如(1/2 mv^2)' = mva=Fv
所以若質點的動能不變(等速率)，則其所受淨力做功的功率
Fv=0 若且惟若 F=0 或 F與v恆垂直

功能定理:
今考慮一質量為m的質點，受淨力F運動，其位置函數為x
則 F=mx" --------------------------------------------------(1)
兩邊跟x'內積得
Fx'=mx"x'=(1/2 mx'^2)'
兩邊對時間不定積分
∫Fx' dt = 1/2 mx'^2 + c
變數變換定積分之後就是功能定理
 x(t2)
∫ F dx = 1/2 m[x'(t2)]^2 - 1/2 m[x'(t1)]^2 = Δ E_k  -----(2)
 x(t1)
邏輯上(1)可以推得(2)，反之無法
(1)是微分、向量式；(2)是積分、純量式
但不能說牛頓運動定律可以推出能量守恆，或比能量守恆更基本
不管是功能定理還是力學能守恆定律都只是能量守恆的一部份
只能說牛頓力學以及我們定義的功、動能和位能沒有違反能量守恆定律
當然做功的定義，其中的F並不限於點粒子所受的淨力
因此其軌跡或位置函數x可以與F無關
由(2)式到功能原理還得意識到功(或能)這個重要的物理量
歷史上明確定義出做功的人並非牛頓
時間也比牛頓的《自然哲學的數學原理》問世晚好幾年
我們在國中剛接觸牛頓力學時就馬上定義出令人費解的功
還知道功是能量並會遵守能量守恆，這有點像上帝視角

力學能守恆:
我們先推導高中教科書教的公式
然後檢視是否符合牛頓運動定律
之後再推導符合牛頓定律的公式
考慮(2)式，若 F 為保守力，則定義位能變化
        x2
ΔU = -∫ F dx
        x1
增加的位能 = 負的保守力作功
負號是為了讓能量守恆，教科書通常會說抵抗保守力作功
把位能的定義代入(2)式得 ΔU+ΔE_k=0

以萬有引力為例:
F=-(GMm/r^2)e_r = mx"
r是m的位置函數，e_r是r方向的單位向量
即 r=|r|e_r => r'=|r|'e_r + |r|(e_r)' => r'e_r=|r|'
跟r'內積，轉為純量式
-(GMm/r^2)e_r r' = -(GMm/r^2)|r|' = mr"r'
(GMm/|r|)' = (1/2 mr'^2)'
-GMm/|r| + 1/2 mr'^2 = c   力學能守恆定律


若在地表小範圍:
重力大小(mg)以及方向(-z)皆不變
z是垂直向上指向天空的單位向量
則 F=-mgz=mx"
-mgzx'=mx"x'
mgxz + 1/2 mx'^2 = c
其中 xz 是位置函數在 z 上的投影大小 h

以上力學能守恆公式的推論有個小問題，也是大問題
小問題是公式是高度近似，甚至還比較實用
大問題是容易對力學能(包括位能)產生誤解
且近似版只能在特定條件下使用
要正確理解位能跟力學能，就必須找出這個問題
我先用空白頁防雷，因為答案真的很簡單
說出來大家一定都知道，但或許有人以前沒想過
那麼一定要嘗試自己當柯南












                                    防雷頁











問題出在牛頓第二運動定律只能在慣性系下使用
我們的推論默認以地球為 frame
但地球同時也受到 m 的反作用力，理論上非慣性

重新檢視:
F=mx" 對任何慣性系皆成立，且對任何慣性系
F、m、x"皆不變(不考慮相對論)，
但當我們兩邊跟x'做內積時，x'會因不同的frame而變
慣性frame彼此的x'會差個常數(函數)
非慣性frame底下，原本的F=mx" 必須加入假想力修正
所以正確的作法是重選一個慣性系，或仍選地球為frame但加入假想力

重選一個慣性系:
其中 m 的位置函數為 x；M 的位置函數為 X
F12=mx"；F21=MX"；F12=-F21
令 r=x-X=|r|e，e為r方向的單位向量
r'=x'-X'=|r|'e + |r|e' => r'e=|r|'
因此
-(GMm/r^2)e = mx"；(GMm/r^2)e = MX"
兩式分別與x'、X'做內積
-(GMm/r^2)ex' = mx"x'；(GMm/r^2)eX' = MX"X'
兩式相加
-(GMm/r^2)(x'-X')e = -(GMm/r^2)|r|' = mx"x' + MX"X'
(GMm/|r|)' = (1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 )'
-GMm/|r| + 1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 = c
此為完整版的力學能守恆公式，對任何慣性系皆成立
特別地，取質心為frame時，質心速度=0
mx'+ MX'=0  =>  X'=(-m/M)x'  =>
1/2 mx'^2 + 1/2 MX'^2 = 1/2 mx'^2 [(m+M)/M]
≒1/2 mx'^2
因此教科書版可視為以質心為frame，
且 M >> m 下的近似。


加入假想力的修正版:
以M為frame，M受到-F的反作用力，加速度為-F/M
所以m必須外加一個假想力 -m(-F/M)
因此
F + mF/M = mx"
這裡的x、x'、x"皆以M為frame，x以M為原點
x方向的單位向量以e_x表示，所以
x=|x|e_x  => x'=|x|'e_x + |x|(e_x)'  =>  (e_x)x'=|x|'
由 F=[mM/(m+M)]x"
(-GMm/x^2) e_x = [mM/(M+m)] x"
(-GMm/x^2) e_xx' = [mM/(M+m)] x"x'
(-GMm/x^2) |x|' = [mM/(M+m)] x"x'
(GMm/|x|)' = {1/2 [mM/(M+m)] x'^2}'
-GMm/|x| + 1/2 [mM/(M+m)] x'^2 = C
此式可視為(自動地)對任何frame皆成立
因為只出現相對速度與距離
當M >> m 時，教科書版也是上式的近似
此式顯示孤立系統的力學能守恆，其實就是位能與內動能之間的轉換
對於多質點系統也是如此，因為 系統總動能=質心動能+內動能
而孤立系統的總動量守恆 => 質心速度不變 => 質心動能不變
因此總動能變化量等於內動能變化量

位能的正確定義:
由以上經驗可知，m1、m2的位能是由m1、m2間的作用力
與m1、m2的相對速度內積再對時間積分再取負值而來
有點繞口，用式子推導就是
F12 = m1 x1"；F21 = m2 x2"；F12=-F21
F12 x1'=m1 x1" x1'；F21 x2'= m2 x2" x2'
兩式相加再積分
∫(F12 x1' + F21 x2')dt = 1/2 m1 x1'^2 + 1/2 m2 x2'^2 + C
左邊的不定積分就是負的位能項，定積分就是 -ΔU
移項之後即為 ΔU + ΔEk1 + ΔEk2 = 0
所以定義ΔU (以下皆指定積分)
=-∫(F12 x1' + F21 x2')dt = -∫(F12 x1' - F12 x2')dt
=-∫F12 (x1'- x2')dt = -∫F12 x12' dt = -∫F12 dx12
其中 x12=x1-x2 為m1、m2的相對位置函數
(若以m2為原點，m1的位置為r，它們的位能與保守力必有
F dr = -dU = -▽U dr， dr 可以任意，所以 F=-▽U )
所以位能(-∫F12 dx12)與frame無關
與內動能一樣可視為系統內在的物理量

因此若把位能判給單一粒子，使其力學能守恆有以下
ΔU + ΔEk1 = 0 的型式
那顯然此式只能在特定frame下成立或近似
因為轉換frame後的ΔU 不會變
但ΔEk1普遍來說變化甚大

例一:
有一個質量m的木塊，與地面的動摩擦係數k，
以初速度v在地面滑行一段距離後靜止，
問滑行距離，摩擦力作功，產生多少熱能?

由摩擦力=mgk，假設滑行距離d，摩擦力作功等於動能變化
-mgkd=0-1/2 m v^2 ，
求出d=(1/2) mv^2 / mgk，
再由 m 減少的動能(1/2 mv^2) 等於增加的熱能
便可求出所有答案，這是常見的高中物理題目與常見的解答

但如果換個frame來看，整件事情就變得詭異
假設我取的慣性frame看m的初速度是0，地面以等速度-v移動
m由靜止被地面拖著走，最後與地面一同以-v等速度移動
在這個frame下摩擦力做正功，m動能增加，且產生熱能

熱能其實也是一種內能(內動能)
由前面的結論可知，若把熱能視為單獨由m的動能轉變而來
那勢必只能在特定的frame下成立或近似
我們考慮兩種可能:
一: m 與地球M 為孤立系統
正確的熱能應該是由m與M的內動能轉換而來
也就是 1/2 [mM/(m+M)] v^2 才是正確的熱能
因為
∫F1dx1 + ∫F2dx2 = ∫F12dx12 = Δ E_k1+ Δ E_k2
=Δ內動能 + (Δ質心動能=0)
這個公式雖然是用雙質點模型，F12是保守力，∫F12dx12 是負位能差
不過在這裡仍可用，只是解釋不同
其中F12是地球對m的作用力，可分解為與dx12平行的摩擦力
以及與dx12垂直的引力及正向力，垂直的不作功
所以這項算出來就是摩擦力乘以相對位移dx12，摩擦力總是阻止產生相對位移
因此與相對位移反方向，所以∫F12dx12這項積出來必為負
-∫F12dx12必為正，因此摩擦總是生熱
由此可知摩擦力作功可以有不同的解釋，其中一種是用來增減m的動能
會因frame而不同，另一種是用來產生熱能，不會因frame而不同。
(以上可計算出摩擦力作功=摩擦生熱，但無法解釋熱，註1有可以解釋的模型)

所以正確的滑行距離D=內動能/摩擦力=(1/2)[mM/(m+M)] v^2 / mgk
上面的 d =(1/2) mv^2 / mgk 也只是近似
因上面的算法用地球當frame，而地球非慣性，必須加假想力修正
地球的加速度是 -F/M，因此作用在m的假想力為 -m(-F/M)
加上原本的F (大小=mgk)
F+m(F/M)=ma   =>   F=[mM/(m+M)] a
a是m對地球的加速度
a=F(m+M)/mM  為常向量
0=v^2 - 2|a|D，(等減速率直線運動)
D=(1/2)v^2 / |a| = (1/2)v^2  mM/(|F|(m+M))=(1/2)[mM/(m+M)] v^2 / mgk
與用內動能算出來的D相同
而轉換慣性frame來看，只是改變質心動能，內動能不變，
因此也就不會影響由內動能轉換而來的熱能。

二: 地球M 為真正的慣性系:
此時 Δ E_k2 =0  無誤差，因此
∫F12dx12= Δ E_k1+ Δ E_k2 = Δ E_k1= - 1/2 mv^2
1/2 mv^2  即是正確無誤差的熱能
d=(1/2) mv^2 / mgk 也是正確的滑行距離，

但轉換慣性frame後怎麼看能量守恆?
因為M 是慣性的，Δ E_k2 = 0，
整個系統的總動能變化等於 Δ E_k1，不再等於內動能變化
可見質心動能變了，這是因為要讓M 保持慣性
必須對它施加一個外力以抵抗m對它的摩擦力
所以系統總動量不再守恒，不再是孤立系統
在M frame上看，這個外力不作功，因為M靜止
用點粒子系統模型來看:
f12為m2(地球)對m1的作用力，f21反之，f12=-f21
F1+f12為m1所受的淨力，即F1為作用在m1的外力(對系統而言)
F2+f21為m2所受的淨力，即F2為作用在m2的外力(對系統而言)
F1+f12=m1x1”；∫(F1+f12)dx1=Δ E_k1
F2+f21=m2x2”; ∫(F2+f21)dx2=Δ E_k2
兩式相加
∫F1dx1+∫F2dx2+∫f12dx12=Δ E_k1+Δ E_k2
其中只有∫f12dx12 不會因轉換frame而變
在慣性 M frame之下，∫F1dx1=0，因F1=0；∫F2dx2=0，因dx2=0
所以 ∫f12dx12=Δ E_k1+Δ E_k2 =Δ E_k1=-1/2 m v^2
因此熱能=1/2 m v^2
但轉換為以m初速=0 (M等速-v) 的慣性frame 後
∫F2dx2 作功了
∫F2dx2 = -∫f12dx12 + Δ E_k1 + Δ E_k2
=1/2  mv^2 +1/2 mv^2 = mv^2
所以這個frame 看到多出來的熱能與動能，
是為了讓M保持等速所施加外力所作的功，能量守恆仍成立。

接下來我們來看束縛能或脫離能(這裡面也有位能不可分的影子)
實務上是把能量(動能)輸入給m，使其逃離M，不管M是地球還是太陽
m的質量跟它比起來都微不足道，但若現在是兩個電荷量與質量都差不多的帶量粒子
或兩個質量差不多的星體(人類應該沒能力拆散兩顆星體，純討論)
那麼要拆散它們所需輸入的最小能量，應該是給整個系統，而不是只給m
輸入的能量用來增加系統的內動能，使其轉換為位能而分開
因為雙星被拆散(遠離)的過程，就是內動能轉換為位能的過程
因此要能拆散它們必須要使其內動能+位能>=0
若輸入的結果造成質心動能增加或內動能+位能>0都是浪費掉的
若要不造成質心動能增加，輸入能量前後必須滿足雙星動量守恆
也就是不能只對m施力，對M也要施力，而且要考慮角度才能滿足動量守恆
比如這一題

#19zslQUK (Physics)
題目只給B速度V，問V要多大才能拆散它們，由內動能+位能=0
即 1/2  (2mm/3m) V^2 - G2mm/R=0  可求出最小的V，
由於A一開始是靜止的，所以V往哪個方向都可以，只要不撞在一起，
當然因為題目只給B動能，造成質心動能也有增加，所以這不是束縛能。

[註1]
熱能是什麼?  何謂摩擦力作功?
以下考慮質量分別為m、M的兩個木塊A、B；B靜止在水平光滑平面上，
A在B上以初速v滑動，受摩擦力作用最終與B等速運動。

假設木塊A跟B 分別由N1、N2個點粒子組成
它們的指標集也分別叫做A、B好了
A={1,2,...,N1}；B={N1+1,N1+2,...,N1+N2}
A木塊={m_i : i in A}；B木塊={m_i : i in B}
mi同時表示第i個粒子的質量，xi為其位置函數
令Fi代表來自AUB系統外且作用在mi上的合力，
fij代表mj作用在mi上的力 (j≠i)。
則 Fi+Σ fij = mi xi"  for i in A U B
        j≠i, j in AUB
以下皆是指定積分，前後為整個摩擦過程
考慮A系統內的點粒子
∫(Fi+Σfij) dxi = Δ E_ki   for i in A
       j≠i, j in AUB
假設 Σ∫Fidxi =0
       i in A
對個別的i而言，或許∫Fidxi ≠0，但巨觀來看
假設外界對A(或B)皆不作功(淨功=0)
所以對於A系統
 Σ ∫Σfij dxi = Σ  Δ E_ki
 i in A            i in A
j≠i, j in AUB

而Σ ∫Σfij dxi又可以拆成 Σ ∫Σfij dxi+ Σ ∫Σfij dxi
i in A  j≠i, j in AUB    i in A  j≠i, j in A    i in A  j in B

Σ ∫Σfij dxi 是 A 的總位能變化，
i in A  j≠i, j in A
因為可以合併成
Σ Σ ∫fij dxij (與 frame 無關)
i in A   j>i (j in A)

(在點粒子模型中，粒子間的作用力皆為保守力，否則會出現永動機，能量不再守恆。
拿重力來比喻，如果同一個物體上升相同的距離，但是今天跟明天重力作的功不一樣，
那我們可以在重力小的時候把物體舉高，重力大的時候放掉讓物體作功，而獲得免費的能
量。
因此點粒子間的作用力必為保守力，否則就是粒子切得不夠細，還有內部結構發生改變，
或是有牛頓物理以外的事情發生。)

個別 ∫fij dxij或許≠0，但若A無明顯形變，或熱漲冷縮之類的，
巨觀上可以忽略其總位能變化，亦即
Σ Σ ∫fij dxij = 0
i in A   j>i (j in A)

而 Σ ∫Σfij dxi 就是 B 對 A 作的功，(摩擦力作功的第三種解釋?)
i in A , j in B
只考慮”接觸力”的話，這一項只發生在接觸面
fij不一定都是水平的，也有垂直分量，用來提供對A重量的支撐力
所以fij能不能稱為摩擦力或此項能否稱為摩擦力作功我也不知道
而這一項無法忽略，並且很難計算，所以僅考慮A的話會卡住
但在考慮整個AUB之後，這一項會被消掉
(這類情況其實在算m在可自由滑動的斜坡上自由下滑之類的題目已經遇過。註2)

考慮整個AUB系統
接觸面的∫fijdxi 跟 ∫fjidxj 可以合併成 ∫ fij dxij = 0
(摩擦力作功的第四種解釋?)
因為只有當mi mj接觸 (dxij=0) 時才有接觸力，亦即 dxij≠0 => fij=0
所以A、B之間的粒子不會有位能變化，而A、B自己的位能變化又可忽略，
因此整個摩擦過程 AUB 的總動能守恆
也就是摩擦前的總動能=摩擦後的總動能
摩擦前:
AUB的總動能=A的總動能+B的總動能
=A的質心動能+A的內動能+B的質心動能+B的內動能
=1/2 m v^2 +A的內動能(前) + 0 + B的內動能(前)
摩擦後:
AUB的總動能=A的質心動能+A的內動能+B的質心動能+B的內動能
=1/2 m (mv/M+m)^2 + A的內動能(後)+1/2 M (mv/M+m)^2+B的內動能(後)
因此摩擦前後的A、B內動能差(熱能)
=A的內動能(後)-A的內動能(前) +B的內動能(後)-B的內動能(前)
=1/2 m v^2 - 1/2 m (mv/M+m)^2 - 1/2 M (mv/M+m)^2
=1/2 m v^2 - 1/2 (mm/(m+M)) v^2
=1/2 m v^2  (1-m/(m+M))
=1/2 mM/(m+M) v^2
與例一算的答案一樣，但模型與解釋不同。
這裡可以看出是”質心內動能”轉換為熱能
但無法知道A跟B分得多少熱能

[註2]
例如 #1bjw-uwt (Physics) 這一題
https://i.imgur.com/GF4PuRQ.jpg
(這應該是普物的題目，高中會用斜坡)
以地球為參考frame，M對m有作功 ∫F12dx1
m對M也有作功 ∫F21dx2
(作不作功，作多少功，跟frame有關)
所以{m，地球} 與 {M，地球} 的力學能皆不守恒
但{m，M，地球} 的力學能守恆
因為∫F12dx1+∫F21dx2=∫F12dx12=0
因F12與dx12恆垂直

再來一個例子也跟能量守恆有關，假設有兩個一模一樣的火箭
在均勻重力場中，A、B火箭的內在條件完全一樣
也一直產生相同的推力以抵抗重力，但A火箭維持等高，B火箭等速上升
它們燃燒一樣的燃料，為什麼B比A多出額外的位能?

這個問題也很有趣，成因與前述皆不同
但要了解火箭的特性才能得出雙方的力學能一樣
有點超出高中物理，費曼曾經說過這樣的話
如果你發現能量守恆不成立，應該先找找看有什麼能量被漏掉
而不是先懷疑能量守恆本身
原文我忘了，不過意思差不多是這樣

結論:
有些物理量可以分割、組合，例如體積、質量、動量，
一個點粒子系統其總質量或總動量就是個別粒子的質量或動量相加
但系統的總力學能不行，
A系統的力學能+B系統的力學能≠A+B系統的力學能
因為A、B之間可能存在位能，而位能不可分
把A、B分開考慮，就看不到它們的位能
取而代之的是必須分析A對B做多少功，B對A做多少功
而功會隨著frame的不同而不同。

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