Re: [問題] 解最小平方法的問題 Ax~b

[j0958322080 (Tidus)]

http://web.mit.edu/ehliu/Public/Yelp/conditioning_and_precision.pdf

最近尋找了一下與這有相關的資料，有以下結論：

1. 直接解 Normal eq. --> 最爛
        -1
2. x = A  b
   (1). 選 pivot 的高斯消去 --> 反解的時候會不穩定，
        最好是消成約化梯式當聯立方程組去解。
   (2). 選 pivot 的 LU 分解 --> 穩定，但是計算量滿大的，還算可以的方法。

3. QR 分解
   (1). 一般的 Gram-schmidt --> 不穩定，但是好平行化
   (2). 修正版 Gram-schmidt --> 比(1)穩定，但較不易平行化
   (3). Householder --> 可以不用選 pivot 直接解，
        選 pivot 也可以，但是計算量大。

4. SVD 分解 --> 最穩定，即便是rank-deficient，但是計算量最大。
                  T
以我們的問題來說 A A 必定為 Full-rank 的矩陣，應該不需要擔心rank-deficient。

所以大概就是以 SVD 跟 QR Householder(QRH) 之間做選擇。

我目前是使用 LU 分解在解這問題，之後會試試看 QRH 跟 SVD，

如果有人已經寫出來希望能夠分享經驗，謝謝。

看了一下 B-spline 的方法，這個方法有辦法得到誤差是最小的嗎??

另外梯度下降法應該會依賴於解猜得好不好吧??

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Fw: [問卦] 電影：決勝21點的機率問題  https://goo.gl/2BpbB7  #1MfN3FgZ (joke)
→ yeebon: chx64的1/2悖論真的很經典呢
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※ 編輯: j0958322080 (27.247.167.2), 01/02/2018 23:13:23
推 DJWS: 感謝通知
→ DJWS: 連結裡面沒有提到SVD用了什麼算法 SVD和QR的算法都不只一種
推 DJWS: b-spline fitting 我沒有研究  無法回答
→ DJWS: 對稱正定矩陣是凸函數  梯度下降法不必用猜的
→ DJWS: 只需注意步伐大小將影響收斂速度 https://goo.gl/XpZH1j
→ DJWS: 梯度共軛法甚至保證N步就得到答案(根本就是公式解了)
→ DJWS: ^^^^^^^^^^ 共軛梯度法
→ j0958322080: 這樣看起來這問題最佳解法應該是共軛梯度法了
→ j0958322080: 不過後來看一下應該是對於不同的條件有不同的step si
→ j0958322080: ze，所以不想繼續修改程式的話SVD或QR還是最佳選項