[積分] 97 元智資工 曲線弧長

[EggAche (蛋疼)]

4. Find the arc length for the curve y = x^2 - lnx taking from x = 1
   to x = 3

        y'(x) = 2x - 1/x

        Length = ∫ds = ∫√[1+(y')^2] dx from 1 to 3

        似乎沒辦法積出來？也不太容易改成以 dy 積分？

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作者: a016258 (憨) 看板: trans_math
標題: Re: [積分] 97 元智資工 曲線弧長
時間: Thu Nov 19 16:41:38 2015

※ 引述《EggAche (蛋疼)》之銘言：
: 4. Find the arc length for the curve y = x^2 - lnx taking from x = 1
:    to x = 3
:         y'(x) = 2x - 1/x
:         Length = ∫ds = ∫√[1+(y')^2] dx from 1 to 3
:         似乎沒辦法積出來？也不太容易改成以 dy 積分？

考試遇到的時候，就放棄好了...

做這一題 搞不好其他可以做五題~



=> ∫ √[1 + (2x - 1/x)^2]  dx


       √(4x^4 - 3x^2 + 1)
  = ∫ -----------------    dx
               x

       √[(2x^2 - 3/4)^2 + 7/16]
  = ∫ -------------------------    dx
                   x


  ( 2x^2 - 3/4 = t ,  x = 0.5 √(2t+3) )


       √(t^2 + 7/16)           2
  =∫ ------------------ 0.5 ---------  dt
       0.5 √(2t+3)         √(2t+3)

        √(t^2 + 7/16)
  =∫ 2 --------------   dt
          2t + 3


  (  t =  √7 (tan u) / 4 )


         (√7/4)  sec u
  =∫ 2 ----------------------  √7/4  (sec^2 u) du
         √7 (tan u)/2  +  3


          7/16 (sec^3 u)
  =∫ 2  -------------------  du
         √7 (tan u) /2 + 3

            7 (tan^2 u + 1)
  = ∫   -----------------      du
         4√7 sin u + 24 cos u



z = tan(u/2)  就可以算了...



有錯還請不吝指正。

有更好的方法還請不吝賜教 :D


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※ 編輯: a016258 (140.114.137.240), 11/19/2015 16:41:57
推 EggAche     : 所以我一直覺得題目出錯或是在刁難人... 因為即使積
→ EggAche     : 出來表示式也不會太好看
→ a016258     : 我看了一下，這題蠻前面的。要懂得放棄XDD
→ a016258     : http://tinyurl.com/pnfvecy 給你參考......
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作者: kerwinhui (kezza) 看板: trans_math
標題: Re: [積分] 97 元智資工 曲線弧長
時間: Thu Nov 19 23:08:47 2015

※ 引述《a016258 (憨)》之銘言：
: ※ 引述《EggAche (蛋疼)》之銘言：
: : 4. Find the arc length for the curve y = x^2 - lnx taking from x = 1
: :    to x = 3
: :         y'(x) = 2x - 1/x
: :         Length = ∫ds = ∫√[1+(y')^2] dx from 1 to 3
: :         似乎沒辦法積出來？也不太容易改成以 dy 積分？
: 考試遇到的時候，就放棄好了...
: 做這一題 搞不好其他可以做五題~

同意

: => ∫ √[1 + (2x - 1/x)^2]  dx

:        √(4x^4 - 3x^2 + 1)
:   = ∫ -----------------    dx
:                x

(恕刪)

代入 u = x^2

        √(4u^2 - 3u + 1)
   = ∫ -----------------    du
               2 u

通常解這種積分的辦法是先把根號的東西提出來，剩下來的都會是根號在分母

∫ √(Au^2 + Bu + C) / u du
    = √(Au^2+Bu+C) + (B/2) ∫ du / √(Au^2 + Bu + C)
      + C ∫ du / (u √(Au^2 + Bu + C) )

中間的積分很容易，最後那個積分用 v=1/u 變成 ∫ dv / √(Cv^2 + Bv + A)
然後和中間的積分一樣

不過在考試的情況下很難會有這麼清楚的頭腦

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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推 EggAche     : Thx!