Re: [分析] 淺談逆運算子

[LimSinE (r=e^theta)]

以前只聽過逆運算子，沒有真的研究過
我本來以為只是類似要求 L(D) y = f 先因式分解 (D-a1)(D-a2)... y = f
然後看是要一層一層套積分公式作用(D-a1)^-1、(D-a2)^-1 之類的
看來是想太少了。

這樣逐層積分應該不會很慢吧Orz

微分逆運算的不唯一性，確實是造成各種麻煩(計算上和理論上)。不過，我的看法和原Po
不大一樣，我認為因式分解、交換甚至部分分式稍微小心都是不是最大的問題，真正造成
這題各種錯解，是因為「容易出錯」的公式3，本身就有問題...

※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: 這幾天稍微對 ODE 特解的逆運算子法花了點時間。
: 讀書時代我也是從未使用過的人，
: 最近回了兩篇文章，爬完文才發現困擾大家的問題一直都差不多。
: 基於逆運算子的常用範圍，本文只針對兩類算子：D-aI、XD-aI。

: 一般來說一個 ODE 可以寫成 L(X,D)y = f。
: D = d/dx 是一階微分算子，而 X 則是「乘以 x」這個運算的算子。
: 限制在有限階的時候，就要求 L(X,D) 對 D 的 degree 是有限的（至少要是 1）。
: 明確一點寫出來的話，L(X,D) = p_n(x)D^n + ... + p_1(x)D + p_0(x)I。

我們直接來看公式，回憶不定積分的公式，表面上寫

積分 AAA = 積分 BBB，其實隱含了可以差一個常數。
在微分算子的情形也是類似，只是每個微分算子的kernel不一樣，變成要很小心。

不過基本上 L^-1 AAA = BBB 的意思，是L(BBB)=AAA，且所有的解還可以差一個ker L裡的東西。
由這個觀點可以很仔細地來驗證公式1~4。
其中1.2.太無聊了，3.已經預告過有問題，所以我們先驗證4.

公式：
1. L(X,D)¯f+g = L(X,D)¯f + L(X,D)¯g
2. L(X,D)¯cf = cL(X,D)¯f
3.(!) L(X,D)¯xf = xL(X,D)¯f - L(X,D)¯L'(X,D)L(X,D)¯f
   其中 L'(X,D) = p_n(x)nD^(n-1) + ... + p_2(x)2D + p_1(x)I，
   是 L(X,D) 形式上對 D 的偏導函數。
4. L(X,D)¯e^(bx)f = e^(bx)L(X,D+bI)¯f

pf of 4.
首先驗證 L(X,D) exp(bx) g = exp(bx) L(X,D+b) g for all g
i) 右<=左：若 L(X,D+b)g = f，則 exp(bx) f = L(X,D) exp(bx) g
ii) 左<=右：若 L(X,D) g = exp(bx) f 則 L(X, D+b) exp(-bx) g = f

這裡用到乘exp(bx) 可逆，故右邊的解空間乘exp(bx)後和左邊是互相包含而相等。

pf of 3.
首先驗證 L(X,D)(xg) = x L(X,D)g + L'(X,D)g for all g
然後用g用L(X,D)^-1f帶入(或令 L(X,D)g=f)，移項即得。

但是這時有一個很微妙的地方：
如果寫成
3' L(X,D)-1 xf = {X - L(X,D)^-1L'(X,D)}L(X,D)^-1 f
就完全沒問題
事實上：
3'的意思是
i) 若L(X,D)g=f，則 xf = {L(X,D)X - L'(X,D)}g = L(X,D)(xg) - L'(X,D)g
ii) 兩邊都可差一個ker L(X,D)的元素

可是3'裡面{}這個算子並不好處理，連本來常係數的算子都不再是常係數了，所以
很自然會想把它拆開。但是拆開就出問題了

從上面的推導可以看到
3的右邊，x[L(X,D)^-1 f]-L(X,D)^-1 L'(X,D)[L(X,D)^-1 f] 要滿足作用L(X,D)以後是xf
必須要兩個[]內取相同的元素g。
若兩個[]分別取 g+g0, g (g0 in ker L(X,D))，那麼作用L(X,D)後，會多出
L(X,D)(xg0) = x L(X,D)g0 + L'(X,D)g0 = L'(X,D)g0 這一項

由於在我們的題目裡面，L(X,D)^-1沒有自然的取法(*)，加上後面兩邊又各顯神通
根本無法保證相等了。

(*) 那些"會對"的情形，譬如f是指數、三角函數又不在L的generalized kernel space中
就是有自然的取法

我們來看看這些錯解

錯誤示範1:
: 前面提到容易出狀況的類型：#1X3H7Xj3 (Math)
: 就以這篇文章的方程式作為例子。
: y''' - 3y' + 2y = x*e^x
: 用算子改寫成 (D^3-3D+2)y=x*e^x（略去 I），
: 所以一個特解就是 (D^3-3D+2)¯x*e^x
: 很多人因為看到有個 x 乘在那邊，就想說直接套用公式。
:   (D^3-3D+2)¯x*e^x
: = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x 交換一下順序
: = x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(D^3-3D+2)¯(3D^2-3)e^x 然後因式分解
: = x*((D-1)^2*(D+2))¯e^x - 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 約掉一個 D-1
: = x^3*e^x/6 - 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x

停在這裡，我們看到第一個L^-1f 我們算的是 x^2e^x/6

: = x^3*e^x/6 - 3(x^3/6)(1/9)2e^x

第二項算出來 L^-1 L' L^-1 f是  x^3e^x/9

可是 L(x^3e^x/9) = 2xe^x - 2e^x/3 =/= L'(x^2e^x/6) = 2xe^x + 2e^x
差了若干倍的e^x，問題出在哪呢？
如果我們讓第二個 L^-1 f 和第一個L^-1 f 差 x e^x和e^x的組合，就可以補齊差額。

: = x^3*e^x/18
: 但代回方程式就知道這不是特解，難道是公式有錯嗎？

由此可見，這個錯誤早在帶入公式3.後無法控制兩個L^-1 f相等時就已經註定了。
後面的算法雖然看似處處危機(?)，但還是把第二項合理的算出來了。

原Po還提供了2個其他的錯誤示範，但是我認為都是在第二項的算法下調整，而且這些
第二項雖然都不一樣，但要命的是都是對的(只要改變L^-1 f的取法)

錯誤示範2:
: 另外有人可能在 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 這個步驟用了不一樣的做法。
:   3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x
: = [2/3*(D-1)^-3 - 1/9*(D-1)^-2 + 1/9*(D+2)^-2]e^x
: = (2/3*x^3/6 - 1/9*x^2/2 + 1/9*1/9)e^x
: = (x^3/9 - x^2/18 + 1/81)e^x
: 然後算出特解 (x^3/18 + x^2/18 - 1/81)e^x ……
: 怎麼還是怪怪的？
: 在看約分的問題前，交換順序其實就已經出了問題。

錯誤示範3:
: 現在已經確定交換順序是有問題的步驟，
: 可是部份分式在不交換的前提下其實也算得不正確。
: 馬上說明一下：
: 回到交換順序前
:   (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x
: = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1)(D-1) * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 e^x
: = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
:   在上面這一步，約掉了 D-1，因為 (D-1)(D-1)^-1 = 1。
: = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1+2) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
: = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
:   + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 6 * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
: = (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 3e^x
:   + (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 6e^x
: = (D-1)^-2 * (D+2)^-2 3e^x + (D-1)^-3 * (D+2)^-2 6e^x
:   上面用到 #1X3xzIfg (Math) 中提到的逆運算子交換性。
: = (D-1)^-2 e^x/3 + (D-1)^-3 2e^x/3
: = x^2*e^x/6 + x^3*e^x/9
: 這次得到的特解是 x^3*e^x/18 - x^2*e^x/6，還是不對。

另外提出一點

即使計算都沒有問題，用了公式3之後，變成要算L^-1L'L^-1，相當於要反解兩次L^-1，真的是何苦來哉
真的會比直接反解快嗎...

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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推 Vulpix      : 釣到大師oddoddof～ 硬要用這條公式的話，我最推的
→ Vulpix      : 做法還是我第一次回文寫的，過程中會算到 L^-1 xe^x
→ Vulpix      : 就可以回去用以前分部積分exp*cos常用的那招了。
→ Vulpix      : 這樣也能保證每一次的 L^-1 都是同一個。
→ Vulpix      : 與其說反解，逆運算子的本質其實是把反解的步驟簡化
→ Vulpix      : 成一個公式而已。用了一下試試看，確實在某些分部積
→ Vulpix      : 分很痛苦的情況下可以簡化計算。
推 Vulpix      : 不過3真的很容易算錯，一般情況都不會建議用。