推 jass970991 : 酷 沒有想過 08/18 15:50
推 yyy855029 : 推 08/18 20:14
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 08/18/2021 20:35:28
推 jacky7987 : 推，但我還是不會用XD 08/21 22:07
這幾天稍微對 ODE 特解的逆運算子法花了點時間。
讀書時代我也是從未使用過的人，
最近回了兩篇文章，爬完文才發現困擾大家的問題一直都差不多。
基於逆運算子的常用範圍，本文只針對兩類算子：D-aI、XD-aI。
x
其中 D-aI = e^(ax)∫dx e^(-ax) 也常寫作 D-a，
x
而 XD-aI = x^a∫dx x^(-a) 也常寫作 xD-a。
在本文中 D¯就是 D 的逆運算子 D^(-1) 的意思。
逆運算子在使用上最常出現的問題就是 D¯D 其實不是 I。
根據微積分基本定理，把一連續函數求反導函數後再求導函數就會等於該連續函數，
用算子符號來寫就是 DD¯= I。
而微積分定理還有另一半：∫f'(x)dx = f(x)+c。
這條式子對於逆運算子來說很不好用，我仍然希望 D¯能保有線性等特徵，
我使用 D¯的目的只是找到一個「特解」，+c 以後的是通解。
所以有時為了我自私的便利性，強求 ∫f'(x)dx = f(x)，也就是 D¯D = I。
而這就是一場災難，因為這相當於限制了積分下限。
對於多項式函數來說我愛用的下限是 0、
而指數成長型函數的下限是 -∞、
指數衰減型函數的下限是 ∞、
對數函數的下限一般是 ∞。
這太不統一了，所以只好接受 D¯D ≠I 並把這件事放在心上。
（偶爾偷偷用就好，在不影響求解的情況下。）
一般來說一個 ODE 可以寫成 L(X,D)y = f。
D = d/dx 是一階微分算子，而 X 則是「乘以 x」這個運算的算子。
限制在有限階的時候，就要求 L(X,D) 對 D 的 degree 是有限的（至少要是 1）。
明確一點寫出來的話，L(X,D) = p_n(x)D^n + ... + p_1(x)D + p_0(x)I。
公式：
1. L(X,D)¯f+g = L(X,D)¯f + L(X,D)¯g
2. L(X,D)¯cf = cL(X,D)¯f
3. L(X,D)¯xf = xL(X,D)¯f - L(X,D)¯L'(X,D)L(X,D)¯f
其中 L'(X,D) = p_n(x)nD^(n-1) + ... + p_2(x)2D + p_1(x)I，
是 L(X,D) 形式上對 D 的偏導函數。
4. L(X,D)¯e^(bx)f = e^(bx)L(X,D+bI)¯f
最後這兩條相當於特殊情況的分部積分(IBP)公式，與微分的萊布尼茲法則對應。
而黃字部份的第三條是最容易出錯的式子。
D-aI：
這類型算是最重要的，對應到常係數的有限階 ODE。
ODE 可以寫成 L(D)y = f，其中 L 是一個一次以上的多項式。
根據代數基本定理，L 可以分解成一堆一次因式的乘積，
所以只要每次都移項一個一次因式到等號右邊，就可以解出特解。
常用公式：
1. (D-aI)¯e^(bx) = e^(bx)/(b-a), b≠a
2. (D-aI)¯x^n*e^(ax) = x^(n+1)*e^(ax)/(n+1), n≠-1 (除了-1以外的複數)
3. (D-aI)¯e^(ax)/x = e^(ax)*ln(x)
4. (D-aI)¯cos(bx) = ( -a*cos(bx)+b*sin(bx) )/(a^2+b^2)
5. (D-aI)¯sin(bx) = ( -b*cos(bx)-a*sin(bx) )/(a^2+b^2)
6. (D^2+cD+dI)¯cos(bx) = (-b^2+cD+dI)¯cos(bx)
這條對 sin 也適用，不在意虛實問題的話，直接把 D 用 ib、-ib 取代也可以。
XD-aI：
這種算子對應的 ODE 是 Cauchy–Euler equation。
與 D-aI 的情形相同，a 也可以是複數，
所以可能會出現類似 x^i = cos(ln(x))+isin(ln(x)) 這種稍顯嚇人的東西。
這型的常用公式就沒有那麼多了，因為多數情況的積分沒有漂亮公式。
大部份有漂亮式子的情況都是 n 為非正整數的時候。
前面提到容易出狀況的類型：#1X3H7Xj3 (Math)
就以這篇文章的方程式作為例子。
y''' - 3y' + 2y = x*e^x
用算子改寫成 (D^3-3D+2)y=x*e^x（略去 I），
所以一個特解就是 (D^3-3D+2)¯x*e^x
很多人因為看到有個 x 乘在那邊，就想說直接套用公式。
(D^3-3D+2)¯x*e^x
= x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x 交換一下順序
= x*(D^3-3D+2)¯e^x - (D^3-3D+2)¯(D^3-3D+2)¯(3D^2-3)e^x 然後因式分解
= x*((D-1)^2*(D+2))¯e^x - 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 約掉一個 D-1
= x^3*e^x/6 - 3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x
= x^3*e^x/6 - 3(x^3/6)(1/9)2e^x
= x^3*e^x/18
但代回方程式就知道這不是特解，難道是公式有錯嗎？
另外有人可能在 3((D-1)^4*(D+2)^2)¯(D-1)(D+1)e^x 這個步驟用了不一樣的做法。
3((D-1)^3*(D+2)^2)¯(D+1)e^x
= [2/3*(D-1)^-3 - 1/9*(D-1)^-2 + 1/9*(D+2)^-2]e^x
= (2/3*x^3/6 - 1/9*x^2/2 + 1/9*1/9)e^x
= (x^3/9 - x^2/18 + 1/81)e^x
然後算出特解 (x^3/18 + x^2/18 - 1/81)e^x ……
怎麼還是怪怪的？
在看約分的問題前，交換順序其實就已經出了問題。
本文在很前面就提過 D¯D≠I＝DD¯了。
算子的順序是不可以隨便交換的。
當然 D 的多項式彼此可以交換、XD 的多項式彼此也可以交換，
但是 L(D)¯和 D 的多項式雖然不至於到「什麼時候都」不能交換，
卻也得看後面那個「被運算的函數」的臉色。
例如 D¯Dx = D¯1 = x，這時候 D¯D 與 DD¯的作用別無二致。
可是 D¯D1 = D¯0 = 0，這時候就不一樣了。
問題是出在「L(X,D) 的 kernel/null space/zero space」上。
現在已經確定交換順序是有問題的步驟，
可是部份分式在不交換的前提下其實也算得不正確。
馬上說明一下：
回到交換順序前
(D^3-3D+2)¯(3D^2-3)(D^3-3D+2)¯e^x
= (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1)(D-1) * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 e^x
= (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D+1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
在上面這一步，約掉了 D-1，因為 (D-1)(D-1)^-1 = 1。
= (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1+2) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
= (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 3(D-1) * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
+ (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * 6 * (D-1)^-1 * (D+2)^-1 e^x
= (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 3e^x
+ (D+2)^-1 * (D-1)^-2 * (D-1)^-2 * (D+2)^-1 6e^x
= (D-1)^-2 * (D+2)^-2 3e^x + (D-1)^-3 * (D+2)^-2 6e^x
上面用到 #1X3xzIfg (Math) 中提到的逆運算子交換性。
= (D-1)^-2 e^x/3 + (D-1)^-3 2e^x/3
= x^2*e^x/6 + x^3*e^x/9
這次得到的特解是 x^3*e^x/18 - x^2*e^x/6，還是不對。
而且怎麼三次算起來都不一樣！？
這問題還是得回到最初的老問題上：∫f'(x)dx = f(x)+c
或許有人會有異議：明明我有在注意，而且特解的 x*e^x、e^x 兩項我也的確不在意。
這個問題是上面的三種過程中，都出現了 (D-1)^-3。
(D-1)^3 的 kernel 裡可不只有 x*e^x、e^x，還有 x^2*e^x。
這也難怪三種過程不只答案不一樣，還會有錯了。
因為在運算 (D-1)^-3 e^x 的時候，
謹慎一點來說，應該要得到 (x^3/6 + ax^2 + bx + c)e^x，
就算不看 (bx + c)e^x，但 ax^2*e^x 是不可省略的。
這個 a 就是個待定常數。
決定 a 的方法就是把解代回原方程式算一遍。
所以就算有小心交換順序，我都不推薦約分、部份分式等做法。
因為到頭來還是要有個常數待定。
其實一般情況下是不用這麼小心的，但是 kernel 真的很麻煩，
所以在用 L(D)^(-1) xf 的時候真的要很謹慎。
這正是逆運算子法最「誤人子弟」之所在。
真的還是想用逆運算子怎麼辦？
最安全的做法就是我在 #1X3H7Xj3 (Math) 寫的，
和 #1X2bPPpN (Math) 這篇推文中 max93765 寫到的方法。
仔細一點看就會發現都沒有用到 (D-1)^-3 或 D^-3，所以很安全。
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懶人包：
ODE L(D)y = f 的 L(D) 裡面，如果 D-a 的次數只有 n 次，
在算 L(D)^(-1) f 的過程中，就不准出現 (D-a)^(-n-1)。
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